8.7. Однородное пространство LG/T и многообразие периодических флагов

В разд. 2.8 мы видели, что наиболее важное однородное пространство для компактной группы это где ее максимальный тор. Мы уже отмечали, что аналогом для группы петель является пространство а не более естественное лространство которое мы уже хорошо изучили в этой главе. Ниже мы сделаем краткий обзор основных фактов

Мы уже знаем, что пространство является комплексным многообразием, ибо его можно отождествить с где состоит из элементов из таких, что принадлежит положительной борелевской подгруппе группы Основное свойство многообразия состоит в том, что его можно стратифицировать орбитами действия и страты нумеруются аффинной группой Вейля эта группа была определена в разд. 5.1. Она является полупрямым произведением где это группа Вейля группы решетка гомоморфизмов Мы можем рассматривать как подмножество в ибо где нормализатор Следующее предложение является в сущности переформулировкой доказательства предложения (5.1.2).

Предложение (8.7.1). Множество неподвижных точек действия Т на совпадает с

Свойства стратификации пространства описывает

Теорема (8.7.2). (i) Комплексное многообразие является объединением стратов занумерованных элементами

(ii) Страт совпадает с орбитой элемента до относительно действия и является локально замкнутым стягиваемым комплексным подмногообразием в коразмерность которого равна длине элемента Он диффеоморфен многообразию .

(iii) является замкнутым подмножеством открытого множества где до Действие задает диффеоморфизм

(iv) Орбита элемента под действием является комплексной клеткой размерности которая трансверсально пересекается с в . Объединение клеток совпадает с

Если то содержится в замыкании, страта если и только если до где отражение, соответствующее простому аффинному корню.

Здесь длина определяется как размерность группы т. е. как число положительных аффинных корней а, таких, что отрицательный корень.

Наиболее важная часть теоремы (8.7.2) — это две теоремы о разложении:

Они следуют из теоремы (8.6.3) и из разложения Брюа конечномерной группы

Считая (8.7.4) справедливым, мы не обнаружим ничего нового в доказательстве (8.7.2), которое, видимо, и не заслуживает дальнейшей детализации. За доказательством (8.7.4) мы отсылаем читателя к [20, гл. VI, § 6, п° 2]. Мы, однако, напомним ключевой момент в доказательстве п. (v) (8.7.2), хотя он и не отличается от соответствующего конечномерного результата.

Пусть а — простой аффинный корень группы ему соответствует (см. (5.2.4)) гомоморфизм который отображает тор Т для в Это дает отображение где есть Если

где отражение, соответствующее то отображение

из в У задает голоморфную кривую в которая соединяет Эта кривая лежит в за исключением точки , и поэтому замыкание страта содержит

В случае имеется геометрическое описание которое мы сейчас приведем: оно аналогично описанию как грассманиана.

Определение (8.7.5). состоит из всех последовательностей подпространств в таких, что

Естественно называть точки из периодическими флагами. Мы будем также рассматривать подпространство состоящее из флагов, для которых все лежат в

В этом разделе удобно вновь отождествить Тогда флаг является канонической отмеченной точкой в ее стабилизатор в совпадает с Можно доказать непосредственно или вывести из (8.3.2)

Предложение (8.7.6). Группа транзитивно действует на а стабилизатор флага совпадает с максимальным тором Т группы

Другими словами, Очевидно, что является расслоением над относительно отображения Слой этого расслоения изоморфен конечномерному многообразию флагов

Орбиты групп дают стратификацию для и клеточное разбиение для Мы не будем продолжать обсуждение этой темы, однако объясним все же, каким образом страты и клетки нумеруются элементами аффинной группы Вейля для В этом случае является полупрямым произведением симметрической группы и решетки на которой действует перестановкой компонент. Когда группа отождествляется с подгруппой в она действует на Нперестановками базисных элементов Ее можно отождествить также с группой всех перестановок на удовлетворяющих

условию

для любого

Предложение (8.7.8). Страты и клетки множества нумеруются элементами аффинной группы Вейля для

Доказательство. Нам предстоит показать, что любой флаг лежит в орбите флага где для некоторой перестановки , удовлетворяющей (8.7.7). Нам известно, что любое лежит в некотором страте грассманиана и что состоит из ровно одного элемента; обозначим этот элемент Искомая перестановка задается условием Для мы выберем вектор порождающий порядок равен Как и в доказательстве (8.3.2), получим, что образуют столбцы петли у, такой, что и что лежит в

Рассуждения для клеток в точности такие же.