Глава 3. Группы гладких отображений

3.1. Бесконечномерные многообразия

Перед обсуждением бесконечномерных групп Ли мы должны прояснить, что мы понимаем под бесконечномерным гладким многообразием, хотя бы для того, чтобы подчеркнуть, что в этом понятии нет ничего таинственного. Мы отсылаем читателя к работе [115] за превосходным кратким изложением этого предмета. Мы будем близко следовать тому же подходу. Более подробное изложение дано в [70].

Рассматриваемые нами многообразия будут паракомпактными топологическими пространствами X, «моделируемыми» некоторым топологическим векторным пространством в том смысле, что X покрывается атласом открытых множеств каждое из которых гомеоморфно открытому подмножеству в причем соответствующий гомеоморфизм зафиксирован. Векторное пространство всегда будет локально выпуклым и полным. Функции перехода между картами

предполагаются гладкими, т. е. бесконечно дифференцируемыми. Бесконечная дифференцируемость понимается в следующем смысле.

По определению отображение где открытое множество в непрерывно дифференцируемо (или является отображением класса если предел

существует для всех и непрерывен как отображение (разумеется, линейно по второму переменному). Тогда вторая производная, если она существует, является отображением

определяемым формулой

и так далее.

Сделаем ряд замечаний об анализе на бесконечномерных многообразиях.

Комплексные многообразия

Комплексное многообразие получается, когда является комплексным топологическим векторным пространством, а функции перехода голоморфны. Голоморфность отображения где открытое множество в означает, что гладкое, а отображение комплексно-линейно по второму переменному.

Дифференциальные формы

Если открытое множество в то дифференциальная форма степени на есть гладкое отображение

полилинейное и знакопеременное по последним переменным. Дифференциальные формы на гладком многообразии можно теперь определить обычным образом, причем обычное определение внешней производной и доказательство леммы Пуанкаре проходят без изменений.

Однако для серьезного использования дифференциальных форм необходимо знать, что для каждого открытого покрытия нашего многообразия имеется подчиненное ему гладкое разбиение единицы. Это обеспечивается выполнением следующих двух условий.

(I) Векторное пространство обладает достаточным запасом гладких функций в том смысле, что для каждого открытого множества имеется ненулевая гладкая функция равная нулю вне U.

(II) Рассматриваемое многообразие линделёфово, т. е. любое открытое покрытие обладает счетным измельчением.

Оба этих условия выполняются для всех многообразий, которые мы будем рассматривать.

Теорема Де Рама справедлива для любого многообразия X, обладающего гладкими разбиениями единицы. Проходит обычное доказательство. В частности, если класс когомологий с представляется коциклом Чеха по отношению

к открытому покрытию многообразия X, то с представляется также дифференциальной формой

где разбиение единицы, подчиненное покрытию

Векторные поля

Определение гладких векторных полей и скобки двух векторных полей не вызывает затруднений; при этом векторные поля обычным образом действуют на функции как дифференциальные операторы. Нужно, однако, иметь в виду, что векторные поля на бесконечномерных многообразиях, вообще говоря, не имеют траекторий. С интересным примером этого явления мы встретимся в гл. 8 при обсуждении градиентного потока функции энергии на пространстве петель.