9.4. Оператор Казимира и инфинитезимальное действие группы диффеоморфизмов

В теории конечномерных полупростых алгебр Ли важную роль играет оператор Казимира. Он строится по алгебре с невырожденной инвариантной -билинейной формой Если V — векторное пространство, на котором действует то оператор Казимира на V — это эндоморфизм пространства V, определяемый формулой

где — базис в двойственный базис относительно т. е. Легко проверить, что А не зависит от выбора базиса Основное свойство оператора состоит в том, что он коммутирует с действием элементов алгебры Ли Это непосредственно следует из инвариантности если и

то

откуда вытекает, что

Из этого в свою очередь следует, что А действует умножением на скаляр в любом неприводимом представлении V алгебры Ли Напомним, что справедливо

Предложение (9.4.2). Пусть V — неприводимое представление алгебры Ли с младшим весом тогда

на V, где это полусумма положительных корней алгебры Ли а норма на индуцирована скалярным произведением на

Доказательство. Пусть стандартный корневой вектор соответствующий корню а. Выберем в качестве базиса в векторы и ортонормированный базис Тогда где Так как

и

Применяя к вектору младшего веса в V, который удовлетворяет равенствам мы получаем

Когда мы отождествляем с помощью скалярного произведения, оказывается, что соответствует а, и потому

В случае групп петель на алгебре Ли имеется инвариантная билинейная форма — разд. 4.9. С другой стороны, выражение (9.4.1) становится бесконечной суммой и поэтому может не иметь смысла. Зафиксировав невырожденное инвариантное скалярное произведение на выберем ортонормированный базис для и будем писать вместо еагп в Двойственным к является Если теперь на векторном пространстве V действует центральное расширение

определенное с помощью то для операторов на V имеем

где размерность образующая центрального расширения. Если V обладает положительной энергией, то оператор

корректно определен по крайней мере на подпространстве V, состоящем из векторов конечной энергии в V, ибо любой вектор конечной энергии аннулируется оператором для почти всех Таким образом, отличается от формального оператора Казимира «вычитанием бесконечной константы» идея, знакомая из квантовой теории поля. С другой стороны, не коммутирует с элементами из

Вычислим коммутатор для некоторого Напишем

где кососимметрическая матрица. Тогда

где

Отсюда

Однако для имеем

где оператор Казимира алгебры Ли действующий в присоединенном представлении. Итак,

В этом месте теория становится несколько проще, если алгебра Ли простая. Тогда действует на умножением на скаляр с, и мы получаем

Это делает естественным

Определение (9.4.7). Для простой алгебры Ли определим оператор Казимира на полагая

где определен формулой (9.4.3).

Здесь рассматривается как элемент алгебры Ли группы следовательно, действует на любом представлении с положительной энергией. Кроме нормального упорядочения, входящего в определение До, выражение для отличается от наивного оператора Казимира, ассоциированного с инвариантным скалярным произведением (4.9.3) на алгебре Ли группы Ли добавлением члена

Если не проста, то где абелева, а остальные просты. Мы знаем, что на есть действие группы поворачивающее каждый сомножитель в отдельности. Пусть соответствующие элементы алгебры Ли группы Тк обозначаются и пусть это скаляры, которыми действует на (В частности, )

Определение (9.4.8). Оператор Казимира для это

Этот оператор корректно определен для любого представления с положительной энергией и коммутирует с действием

Мы будем использовать оператор Казимира для доказательства унитарности и полной приводимости представлений групп

петель, а также для алгебраического доказательства формулы Каца для характера. Аналогично (9.4.2) справедливо

Предложение (9.4.9). Пусть V — циклическое представление группы порожденное вектором младшего веса, и пусть оно допускает согласованное действие как и выше. Тогда оператор Казимира действует на V умножением на скаляр

где младший вес как линейная функция на равен

Предыдущую формулу легче всего понять, когда проста. Если мы напишем , то (9.4.9) превратится в

в полной аналогии с конечномерным случаем. Фактически формула (9.4.10) имеет смысл и верна также в общей ситуации, если рассматривать V как представление алгебры где универсальное центральное расширение группы с помощью описанное в разд. 4.2. Тогда лежат в двойственном пространстве к со скалярным произведением

Доказательство (9.4.9). Мы имеем

где оператор Казимира алгебры Ли Нам нужно вычислить где вектор младшего веса для Но аннулирует и действие на задается формулой (9.4.2). Наконец,

Инфинитезимальное действие Diff(S)

Имея в своем распоряжении оператор Казимира, мы можем очень легко показать, что алгебра Ли группы диффеоморфизмов окружности действует на любом представлении с положительной энергией группы петель . В последующем обсуждении мы будем считать, что алгебра Ли проста. Если

это не так, мы разложим ее в сумму как раньше, и получим различных коммутирующих действий на соответствующих естественному действию на которое независимо действует на сомножители. Мы можем также ограничиться представлениями фиксированного уровня

В комплексификации алгебры Ли векторных полей имеется базис, состоящий из элементов для Мы должны показать, что для любого имеется оператор с плотной областью определения, такой, что

где Фактически будет определен на пространстве гладких векторов с конечной энергией в Если мы полагаем (в наших предыдущих обозначениях)

Этот оператор корректно определен на векторах с конечной энергией, ибо для любого имеем

и поэтому аннулирует векторы энергии если не удовлетворяет условию Вычисление, аналогичное (9.4.5), дает

как и для Операторы определенные формулой

нужным образом коммутируют с Из (9.4.13) легко вывести, что

при в соответствии с коммутационным соотношением

для векторных полей. Сложнее вычислить коммутатор Вот результат:

Наличие скаляра в правой части этого уравнения показывает, что алгебра Ли проективно действует на пространстве представления. Вид равенства (9.4.14) не очень нас удивляет. В предложении (4.2.11) мы видели, что общего вида центральное расширение алгебры с помощью определяется соотношением

для некоторого

Тот факт, что векторные поля на окружности действуют проективным образом на представлениях групп петель, служит веским указанием на то, что на этих представлениях имеется действие группы Мы исследуем этот вопрос в разд. 13.4 другим методом. (Гудман и Уоллех [64] экспоненцируют инфинитезимальное действие.)