7.2. Некоторые плотные подмногообразия в Gr(H)

В терминах только что введенных координатных карт мы опишем четыре важных плотных подмногообразия в Причина интереса к ним выяснится позднее.

(i) состоит из всех подпространств таких, что для некоторого Такие подпространства можно отождествить с подпространствами в так что есть объединение классических конечномерных грассманианов . В терминах координатных карт состоит из графиков операторов имеющих лишь конечное число ненулевых матричных элементов; такие операторы плотны в

(ii) состоит из всех подпространств соизмеримых с Это графики всевозможных операторов конечного ранга.

(iii) состоит из графиков всех операторов матричные элементы которых (для таковы, что величины ограничены для некоторого .

(iv) состоит из графиков всех операторов матричные элементы которых быстро убывают, т. е. таких, что величины ограничены для каждого

Не вдаваясь слишком глубоко в мотивировку введения этих подпространств, отметим, что если лежит в то у него есть плотное подпространство, состоящее из гладких функций: это так, поскольку конечные линейные комбинации гладких функций

плотны в Аналогично, если лежит в то в плотны вещественно-аналитические функции, а если лежит в то в плотны тригонометрические многочлены. Эти условия, однако, не характеризуют и Так, график оператора где

не принадлежит ни одному из этих подмногообразий, хотя в нем, очевидно, плотны тригонометрические многочлены (что касается другого крайнего случая, нетрудно показать, что общее подпространство совсем не содержит ненулевых гладких функций).

Подпространство можно описать следующим образом.

Предложение (7.2.1). состоит в точности из тех подпространств для которых образы обеих ортогональных проекций

состоят из гладких функций.

Доказательство. Тот факт, что образы состоят из гладких: функций, если лежит в сразу вытекает из определений (заметим, что если график оператора?: , то — график оператора Обратно, если график оператора и образ проекции состоит гладких функций, то это же верно и для образа оператора Таким образом, Т определяет отображение из в пространство гладких функций на окружности. По теореме о замкнутом графике оно должно быть непрерывным; его можно представлять себе как гладкое отображение окружности в пространство, двойственное к Его гладкость эквивалентна условию, что для каждого величина

ограничена при Аналогично, гладкость образа проекции эквивалентна ограниченности для всех величины

при из двух этих условий вытекает, что лежит в

Совершенно аналогичное описание может быть дано для для первого пространства доказательство тривиально.

Наши четыре подпространства могут сами рассматриваться как многообразия. Важнейшим для нас будет которое мы будем называть гладким грассманианом. Данное выше описание показывает, что это многообразие, моделируемое метризуемым ядерным пространством (см. [60]) матриц топология в котором определяется последовательностью полунорм где

Можно также описать непосредственно в терминах пространства гладких функций на окружности (с обычной топологией) оно состоит из всех замкнутых подпространств таких, что проекция фредгольмова, а проекция компактна Доказательство этого мы, однако, опустим.

В завершение этого раздела дадим очень простое приложение существования плотного подмногообразия

Предложение (7.2.2). Каждая голоморфная функция постоянна на всех связных компонентах.

Доказательство. Достаточно показать, что локально постоянна на Но есть объединение конечномерных грассманианов Поскольку они являются компактными алгебраическими многообразиями, каждая голоморфная функция на них локально постоянна.