Глава 1. Введение

Группа петель это группа параметризованных петель в другой группе т. е. группа отображений окружности Закон умножения в ней происходит из поэлементного умножения в . В этой книге G всегда будет либо компактной группой Ли, либо ее комплексификацией. Имеется несколько точек зрения, приводящих к изучению групп петель.

С чисто математических позиций естественно спросить, можно ли обобщить на бесконечномерные группы богатую и глубоко разработанную теорию конечномерных групп Ли. В этой связи группы отображений из компактного пространства X в группу Ли G являются, вероятно, наиболее очевидными примерами бесконечномерных групп Ли. Их поведение нетипично своей простотой. Например, экспоненциальное отображение из алгебры Ли группы G индуцирует экспоненциальное отображение являющееся локально биективным; это не то свойство, которого можно ожидать от общих бесконечномерных групп Ли.

В квантовой теории поля группы вида (где X обычно является физическим пространством возникают двумя слегка различными способами — как калибровочные группы и как группы токов. Группы петель, таким образом, появляются в упрощенной модели квантовой теории поля, в которой пространство берется одномерным, а также в «струнных» моделях элементарных частиц, где частицы представляются одномерными протяженными объектами. Некоторые важные факты в теории представлений групп петель были впервые открыты физиками, и весь наш подход к предмету в этой книге носит на себе отпечаток квантовой теории поля.

Хотя внутренне это очень простая и естественная группа, мы удивительно мало знаем (особенно о ее представлениях), за исключением случая, когда X — окружность. В этом случае ситуация чрезвычайно упрощается и исследована очень полно. Оказывается, что группы петель в замечательно широких пределах ведут себя так же, как компактные группы Ли. Цель

этой книги — дать общее изложение того, что о них известно, сконцентрированное вокруг глобальных и аналитических, а не алгебраических аспектов теории. Это необычный подход к предмету, поэтому его стоит прокомментировать. Обычно группы петель изучают с помощью их алгебр Ли, по существу являющихся примерами так называемых алгебр Каца — Муди. Это алгебры; Ли, которые можно задать образующими и соотношениями таким же образом, как конечномерные полупростые алгебры.. Классическая теория Картана и Киллинга показывает, как строить алгебру по каждой целочисленной матрице, удовлетворяющей некоторым условиям, включающим ее положительную определенность. Опуская условие положительности, мы приходим k. алгебрам Каца — Муди. Если ослабить «положительность» до. «неотрицательности», мы получим подкласс алгебр Каца - Муди, обычно называемых аффинными алгебрами. Они являются (с-точностью до одномерного центрального расширения) алгебрами Ли групп петель и их скрученных вариантов, которые мы позднее опишем. Для алгебр Каца — Муди, не являющихся аффинными, известно лишь их описание в терминах образующих и: соотношений, и совершенно непонятно, в каких контекстах могут возникнуть соответствующие группы. Это определенно негруппы вида С другой стороны, если развивать теорию алгебр Каца — Муди алгебраически, то нет большой разницы (по крайней мере для многих целей), является алгебра аффинной или нет.

Значительный стимул к развитию теории алгебр Каца — Муди общего вида был дан открытием в 1972 г. Макдональдом [107] класса тождеств с формальными степенными рядами, аналогичных формуле Вейля для знаменателя и сводящихся; в частных случаях к таким результатам, как тождество Якоби для тройного произведения. Кац заметил, что тождества Макдональда немедленно вытекают из обобщения формулы характеров Вейля на алгебры Каца — Муди, и с тех пор формула характеров интенсивно изучалась с различных точек зрения. Характеры оказываются в определенном смысле модулярными-функциями, хотя, почему это должно быть так, остается еще одной из загадок предмета.

Из всего сказанного совершенно разумно сделать вывод, что изучаемые нами группы интересны не потому, что они являются группами петель, а потому, что они обладают некоторой очень специальной комбинаторной структурой. С такой точки зрения эта книга, совершенно игнорирующая все алгебры Каца — Муди, за исключением «аффинных», может показаться довольно извращенной. Мотивировка нашего подхода частично является эстетической. При изучении групп петель мы занимаемся скорее

геометрией и анализом, чем алгеброй и комбинаторикой, а геометрическая картина для некоторых более прозрачна и привлекательна. С другой стороны, несмотря на признание того факта, что было бы очень опрометчиво и оптимистично считать, что теория групп петель прямо скажет нам что-либо о более общих группах вида ясно, что используемые нами методы и конструкции очень фундаментальны и лежат в основном русле математики, особенно в связи с квантовой теорий поля. Кажется вполне разумным предположить, что они найдут приложения.

Первая характерная черта нашего подхода состоит в том, чтобы представлять себе группы петель как группы операторов в гильбертовом пространстве. Мы рассматриваем элемент группы как оператор умножения в гильбертовом пространстве функций класса на окружности со значениями в некотором конечномерном представлении V группы Мы представляем как где (соответственно состоит из функций, у которых обращаются в нуль все отрицательные (соответственно положительные) коэффициенты Фурье, и мы изучаем, как ведут себя операторы умножения по отношению, к этому разложению. Эта идея происходит из квантовой теории поля, в которой есть пространство решений релятивистского волнового уравнения, а и — решения с положительной и отрицательной энергией; мы изучаем, как оператор на перемещает частицы из состояний с положительной энергией в состояния с отрицательной энергией и обратно.

Вторая характерная особенность состоит в геометрическом изучении «основного однородного пространства» X группы Это пространство где G рассматривается как подгруппа в состоящая из постоянных петель. Оно может быть отождествлено с пространством петель с отмеченной точкой в . У него есть два важнейших свойства. Во-первых, оно является комплексным многообразием, поскольку может быть отождествлено с однородным пространством где есть комплексификация группы состоит из петель, являющихся граничными значениями голоморфных отображений

Во-вторых, X обладает стратификацией комплексными многообразиями конечной коразмерности, нумерующимися классами сопряженности гомоморфизмов Это в точности аналогично разбиению грассманова многообразия на клетки Шуберта, а также разложению Брюа комплексной полупростой группы. Оба свойства вместе сводятся к переформулировке теоремы разложении Биркгофа 1909 г., утверждающей, что каждая

петля у в может быть представлена в виде петля, продолжающаяся голоморфно внутрь (соответственно наружу) единичного диска, а некоторый гомоморфизм.

Стратификацию пространства можно представить себе более геометрически в терминах функции энергии определяемой формулой

Критические точки функции это гомоморфизмы а их компоненты связности — это классы сопряженности. Страт, соответствующий некоторому классу сопряженности, состоит из всех петель, стремящихся к нему при движении против градиентного потока функции

Соединяя указанные две идеи, заметим, что, поскольку группа действует на гильбертовом пространстве она действует и на грассмановом многообразии замкнутых подпространств в Орбита подпространства при этом действии есть экземпляр однородного пространства Мы будем постоянно пользоваться этим вложением пространства X в грассманиан в качестве подмногообразия.

Геометрия пространства X в теории групп петель важна частично как средство доказательства структурных теорем, таких, как сама теорема о разложении Биркгофа, но более фундаментальная причина состоит в том, что неприводимые представления группы возникают как пространства голоморфных сечений линейных расслоений на (Строго говоря, здесь требуется тесно связанное с X пространство где максимальный тор в

Настоящая книга распадается на две половины: в первых, восьми главах речь идет о группах, а в остальных — об их представлениях. С введением в теорию представлений читатель может ознакомиться в начале гл. 9. На самом деле можно начать чтение книги оттуда, возвращаясь к предыдущим главам по мере надобности: в частности, ряд деталей гл. 8 вряд ли будет интересен многим читателям.

Первоначально мы собирались посвятить часть книги приложениям групп петель, но в конце концов стали чувствовать себя недостаточно компетентными или энергичными для этого. Как уже отмечалось, группы петель возникают в двумерной квантовой теории поля; позже они нашли обширные приложения:

в связи с так называемыми вполне интегрируемыми системами дифференциальных уравнений в частных производных. Более комбинаторные аспекты теории связаны с классификацией различного рода особенностей в алгебраической геометрии — это обобщение классического соответствия между простыми особенностями и конечномерными простыми алгебрами Ли ([22], [140], [ 105]). Такого же типа соответствие, обобщающее теорему Габриеля [53], имеется в классификации систем подпространств в линейной алгебре. Наконец, формула характеров для представлений групп петель может быть использована как плодотворный источник комбинаторных тождеств; это было впервые отмечено Макдональдом в [107].

Из всех этих приложений лишь первые два (к квантовой теории поля и дифференциальным уравнениям) опираются на сами группы, а не на их комбинаторное представление. Приложения к квантовой теории поля трудно поддаются обзору, поскольку они состоят из рассеянных примеров ряда различных типов. Мы отсылаем заинтересованного читателя к работам [80], [38], [26], [155]. Приложение к дифференциальным уравнениям имеет более непосредственный характер. Оно было впервые разработано Сато ([35], [126]), хотя идеи неявно содержались в более ранних работах (см. в особенности статью Захарова и Шабата [156]). В настоящее время опубликован ряд изложений этого предмета. Изложение с точки зрения настоящей книги дано в статье [132]. Остальные приложения не отражены в нашем списке литературы, но мы отсылаем к [141] по поводу классификации особенностей и к [85] по поводу обобщений теории Габриеля (иногда называемой теорией колчанов). Наиболее обширная работа в связи с комбинаторными тождествами была проделана Леповским (см. [43], [101], [103]).

Кроме приложений в строгом смысле слова следует отметить ряд тем, связанных с нашей. Одной из центральных идей во всей теории является теорема о разложении Биркгофа, которая была найдена в ходе классификации особенностей обыкновенных дифференциальных уравнений (см. ниже разд. 8.2). Связанная с этим проблема Римана — Гильберта нахождения мероморфной функции с заданной монодромией вокруг заданных полюсов недавно получила конструктивное решение с помощью разновидности метода, описанного в этой книге, — так называемых вертексных операторов (см. [127]). Совершенно другому направлению посвящена недавняя статья [50], связанная с группой «монстр», в которой также центральную роль играют вертексные

операторы. Те же вертексные операторы лежат в основе бозон-фермионного соответствия, играющего важную роль в двумерной, квантовой теории поля (см. [29], [111], [45], а также разд. 10.7 ниже).

Целью этой книги является изложение теории, и мы не делали попытки проследить эволюцию описываемых нами идей, и теорем. В любом случае было бы довольно трудно сделать это» объективно, поскольку многие идеи были разработаны независимо рядом авторов в различных контекстах, а также часто в течение некоторого времени оставались «хорошо известными специалистам», не будучи опубликованы. Наилучшим выходом для, нас представляется дать весьма представительную выборку различных подходов к предмету. Определяющая трактовка теории., алгебр Ли дана в книге Каца [86], содержащей обширную библиографию. Другой алгебраический подход развит Гарландом: и Леповским [54], [55], [56]. Гудман и Уоллех [64] подходят к предмету с точки зрения банаховых групп Ли, а в статье Френкеля [47] теория характеров изучается с помощью винеровскога интегрирования по орбитам. Следует отметить также важные работы [49], [87], [100] и [88].

Теория представлений групп петель тесно связана с теорией" представлений группы диффеоморфизмов окружности, действующей как группа автоморфизмов каждой из групп петель. Оказывается, что группа диффеоморфизмов, сохраняющих ориентацию, проективно действует на всех рассматриваемых нами представлениях групп петель и что таким образом получаются все известные представления группы см. [131], [64], [61]. В этой книге мы не будем систематически изучать группу но докажем ключевое свойство согласованности.

Мы уже упоминали скрученные группы петель. Если а — автоморфизм группы то соответствующая скрученная группа-петель состоит из отображений таких, что

для всех 0. Теория групп петель по существу без изменений переносится на скрученные группы. Мы делаем несколько отдельных замечаний по поводу скрученного случая, но большей частью он не содержит ничего нового, и мы им не занимаемся.

Очертим теперь систематически содержание книги.

Глава 2 — это обзор результатов о конечномерных группах: Ли, которыми мы будем пользоваться. Она включена просто для

того, чтобы сделать книгу более независимой и, как мы надеемся, более доступной для читателей с различной подготовкой.

Глава 3 вводит бесконечномерные группы Ли и выясняет, что можно сказать о группах петель и некоторых связанных с ними группах с этой точки зрения, не обращаясь к их более специальным и характеристическим свойствам.

Глава 4, с другой стороны, посвящена одной из наиболее важных и характерных черт групп петель — существованию естественного класса центральных расширений с помощью группы-окружности Т или, эквивалентно, тому факту, что группы петель допускают нетривиальные проективные представления. Расширенные группы петель играют большую роль в теории, чем сами группы петель, и все представления, которые мы будем строить, являются проективными. В этой главе расширения строятся с помощью дифференциально-геометрических методов. В действительности мы находим все возможные расширения группы для любого компактного многообразия X, хотя результат показывает, что важен только случай Отметим, что расширения существуют только для групп гладких (а не просто непрерывных) петель.

Глава 5 есть краткое изложение теории алгебр Ли групп петель, о которых мы сообщаем лишь то, что понадобится для наших целей. Мы даем определение алгебр Каца — Муди и объясняем, как группы петель доставляют их примеры; но мы не касаемся вопроса об их классификации.

В гл. 6 группы петель рассматриваются как группы операторов в гильбертовом пространстве. Мы вводим ограниченную полную линейную группу гильбертова пространства с поляризацией, т. е. с разложением Эта группа, состоящая из тех обратимых операторов на внедиагональные блоки которых являются операторами Гильберта — Шмидта, играет центральную роль в оставшейся части книги. Если подпространства решений релятивистского волнового уравнения с положительной и отрицательной энергией, то элементы группы в точности преобразования пространства «выполнимые» в соответствующем пространстве Фока (см. [136]).

Группа обладает основным центральным расширением с помощью из которого выводятся все центральные расширения групп петель. Грубо говоря, это расширение измеряет, насколько отличается от гомоморфизма отображение, сопоставляющее каждому оператору в его компоненту,

действующую из . В этом месте, мы надеемся, становится ясно, что направление, по которому нужно следовать при изучении группы когда задается теорией Конна [32]. Мы немного говорим об этом в разд. 6.10.

В гл. 7 вводится грассманиан в поляризованном гильбертовом пространстве — это другое фундаментальное понятие при нашем подходе. Его наиболее важное свойство состоит в том, что на нем можно определить детерминантное линейное расслоение. Это голоморфное расслоение, однородное относительно центрального расширения группы на самом деле это задает определение центрального расширения. Введенный грассманиан обладает разложением на многообразия Шуберта совершенно аналогично конечномерному грассманиану: точнее, у него есть стратификация многообразиями конечной коразмерности и двойственное разложение на конечномерные клетки.

Глава 8 посвящена геометрии основного однородного пространства X группы и получаемым из нее теоремам о структуре группы Как уже было сказано, нашим основным орудием является вложение пространства X в грассманиан из наличия которого мы заключаем, что X есть комплексное кэлерово многообразие. Мы выведем разложение пространства X и тем самым, в частности теоремы о разложении Биркгофа, из разложения Шуберта пространства (нам кажется, что эта геометрическая точка зрения более прозрачна, чем обычная трактовка теоремы Бйркгофа с помощью интегральных уравнений [63]). Наша процедура реализуется сначала на примере группы петель группы откуда выводится общий случай. Получив разложение такими методами, мы можем затем (в разд. 8.9) рассмотреть ситуацию заново в свете градиентного потока функции энергии. Мы показываем, что это разложение есть в точности соответствующее разложение Морса пространства В частности, мы получаем очень полное и привлекательное описание потока функции энергии (предложение (8.9.8)).

В разд. 8.10 мы рассмотрим некоторые свойства, которыми X обладает просто как комплексное многообразие. Хотя это бесконечномерное однородное пространство, у него есть много «конечномерных» свойств. Не только каждая голоморфная функция на нем постоянна на каждой связной компоненте, но и все связные компоненты пространства отображений (с отмеченной точкой) произвольного компактного комплексного многообразия в X конечномерны. Наше изложение здесь следует [5].

Мы увидим, что наряду с однородным пространством группы имеется похожее пространство

сопоставляемое каждой замкнутой римановой поверхности Оно имеет гомотопический тип пространства главных G-расслоений на

Взаимосвязь между и грассманианом была впервые замечена в теории рассеяния в смысле работы [99]; это будет объяснено в разд. 8.12. Она также лежит в основе теоремы периодичности Ботта (см. разд. 8.8).

Остаток книги после гл. 8 посвящен теории представлений, и мы отсылаем к гл. 9 за обзором его содержания. Наш подход состоит в том, чтобы, с одной стороны, имитировать конечномерную теорию Бореля — Вейля, а с другой — воспользоваться естественными представлениями, известными из квантовой теории поля. Формула характеров отложена до последней главы, где мы показываем также, как описанное в гл. 8 разложение пространства X непосредственно приводит к резольвенте Бернштейна — Гельфанда — Гельфанда представления группы модулями Верма. Это основа всего более тонкого алгебраического и когомологического анализа представлений, от которого мы воздержимся.

Написание этой книги потребовало много времени. Она началась с лекций, прочитанных вторым автором в Беркли в начале 1982 г. Первоначальный вариант книги был написан первым автором, основываясь на этих лекциях, после чего он был сильно расширен вторым автором, что и составило настоящую работу. Очевидно, что нам было чрезвычайно полезно влияние многих людей, и мы стараемся выразить нашу признательность им в различных местах текста. Но нам хотелось бы выразить здесь особенную благодарность сэру Майклу Атье, который предложил весь проект и постоянно помогал нам своим ободрением и советами, а также Дэниелу Квиллену, который сформировал наш подход к предмету в 1978 г., познакомив нас с грассмановой моделью пространства и разъяснив ее важность, и с тех пор оказывал на нас постоянное влияние.

Мы надеемся, что по крайней мере некоторые части этой книги будут интересны читателям, не занимающимся непосредственно группами петель. Некоторые разделы, такие, как изложение спинорного представления, были написаны специально с такой целью. Мы старались сделать разделы книги в разумных пределах независимыми, даже ценой некоторых повторений, с тем, чтобы поощрить читателей сразу же обращаться к заинтересовавшим их местам. Мы также намеренно написали разные разделы на разных уровнях математической сложности. Мы приложили большие старания для того, чтобы изучение центральных частей теории требовало очень немногого.