4.7. Основное центральное расширение группы LUn

Мы не будем обсуждать расширения группы если G не полупроста, за исключением частного случая Расширение группы которое мы сейчас опишем, играет центральную роль во всей теории.

Предложение (4.7.1). (i) Имеется каноническое расширение группы с помощью такое, что соответствующий коцикл на алгебре Ли задается формулой (4.2.2), где основное скалярное произведение на ил.

(ii) Подгруппа постоянных петель канонически отождествляется с подгруппой в

(iii) Центр компоненты единицы в есть где первый множитель это ядро расширения, а второй — центр канонической копии подгруппы Сопряжение петлей с числом; вращения преобразует по формуле

(iv) Естественное действие группы на происходит из единственного действия двойного накрытия группы на (см., однако, замечание (4.7.2) ниже).

Замечание. Расширение полностью определяется расширением алгебр Ли, но с точностью до неканонического изоморфизма (для каждой группы группа ее автоморфизмов, тождественных на есть где центр Кроме того, имеется бесконечномерное пространство (а именно ) автоморфизмов алгебры индуцирующих тождественный автоморфизм на Эти факты сильно запутывают изучение особенно в вопросах, связанных с действием

Доказательство. Мы будем кратки, поскольку детали доказательства во многом совпадают с теми, с которыми мы сталкивались в предыдущих разделах.

Мы построим требуемое расширение компоненты единицы применяя предложение (4.4.2) к односвязному пространству где стандартный максимальный тор в Заметим теперь, что есть полупрямое произведение где подгруппа порождена любой петлей X с числом вращения 1. Если нам удастся поднять действие элемента X сопряжением на до автоморфизма группы то мы сможем положить по определению Рассуждения из (4.6.5) показывают возможность подъема, а также доказывают утверждение (iii). Существенный момент здесь состоит

.в том, что мы можем выбрать в качестве X петлю в абелевой подгруппе так что сопряжение посредством X действует на Эта конструкция зависит от выбора петли X, однако существует канонический выбор.

Для исследования действия группы на введем односвязную накрывающую группу 2) группы Она может быть реализована как группа диффеоморфизмов таких, что Для доказательства того, что действие группы на поднимается до действия достаточно построить расширение полупрямого произведения с помощью сводящееся к над и тривиальное над Для этого сначала построим расширение над связной компонентой применяя нашу стаидартную процедуру к однородному пространству на котором обычный -коцикл на алгебре определяет инвариантную целочисленную -форму. Затем нужно поднять сопряжение с помощью X на Равенство (4.6.6) по-прежнему выполняется в этом большем пространстве, где теперь есть инвариантная форма, определяемая линейным отображением

на алгебре Ли группы Таким образом, проходят те же рассуждения, что выше.

Наконец, нужно вычислить действие на центрального гэлемента группы определяемого равенством Достаточно вычислить действие сопряжением с помощью X на элемент расширения группы где очевидный путь в У из отмеченной точки в Если принять, что X есть гомоморфизм то путь инвариантен относительно сопряжения, так что формула (4.6.8) показывает, что умножается на элемент центра Поскольку мы видим, что Это означает, что действует на компоненты в с нечетным числом вращения умножением на — 1. Это завершает доказательство (4.7.1).

Замечание (4.7.2). Действие группы на полностью определяется ее действием на алгебре Ли (так как ядро гомоморфизма абелево). Но имеются автоморфизмы алгебры не продолжающиеся на так что действие группы на можно изменить, не оказывая влияния на действие на рассматриваемое с точностью до изоморфизма. Таким образом, несмотря на предложение

действие группы на можно поднять на Один из способов состоит в том, чтобы задать действие элемента на элемент лежащий над формулой

где

есть действие элемента описанное в предложении; (4.7.1). Если есть сдвиг то

где число вращения петли Это означает, что действие центрального элемента тривиально.

Мы оставляем читателю проверку того, что это действие группы единственно с точностью до автоморфизма группы . В разд. 6.8 мы увидим, что специальный выбор, (4.7.3) возникает естественным образом.

Случай

Основное центральное расширение группы можно» описать, явно задавая коцикл, который мы укажем здесь для дальнейших ссылок. Заметим сначала, что любой элемент группы может быть записан в виде где гладкая функция, такая, что

для некоторого целого числа а именно числа вращения, петли Мы будем обозначать через среднее значение функции на интервале т. е.

Предложение (4.7.5). Основное центральное расширение группы определяется коциклом с, где

и

Действие на диффеоморфизма может быть еыбрано в виде

где как множество отождествлено с частности, поворот на угол а действует по формуле

Доказательство. Мы оставляем читателю проверку того, что (являющийся коциклом в силу билинейности 5) действительно определяет расширение группы со свойствами, описанными в предложении (4.7.1).