14.2. Мотивировка формулы для характеров: формула Вейля для компактной группы

Наиболее важный результат о характерах — это формула для характера неприводимого представления с младшим весом принадлежащая Кацу. Она является точным аналогом формулы Вейля для компактных групп.

Один из способов мотивировать этот результат — теория неподвижных точек. Рассмотрим сначала действие конечной группы G на векторном пространстве сечений линейного

расслоения на конечном множестве Мы предполагаем, что действия G на и на X согласованы. Пространство это, конечно, прямая сумма слоев расслоения Так как отображает то в матрице действия на диагональные элементы могут быть не равны нулю, только если и след этой матрицы равен

где это множество неподвижных точек действия на

Рассмотрим теперь более общую группу которая действует голоморфными преобразованиями голоморфного линейного расслоения на комплексном многообразии Разумно надеяться, что если действует на X с изолированными неподвижными точками, то след действия на пространстве голоморфных сечений если его можно определить — связан с суммой следов действия на пространствах ростков голоморфных сечений расслоения в изолированных точках действия на Другими словами, вклад в след вносят только инфинитезимальные окрестности неподвижных точек. Далее, росток голоморфного сечения в точке это просто «ряд Тейлора» в поэтому можно отождествить с где двойственное к касательному пространству к X в х (с его комплексной структурой), а обозначает симметрическую алгебру. (Более инвариантно, векторное пространство ростков обладает фильтрацией по порядку нуля в х, и ассоциированное градуированное векторное пространство — это различие между этими пространствами, впрочем, не существенно для вычисления следа.) Если собственные числа действия на то след действия на формально равен т. е. Поэтому ожидаемая формула для следа действия на имеет вид

Формула Вейля для характера — это утверждение о том, что (14.2.1) справедливо для действия компактной группы Ли G на комплексном однородном пространстве по крайней мере для положительного линейного расслоения (т. е. расслоения с ненулевыми голоморфными сечениями). Формула Каца — это то же утверждение о действии максимального тора

группы на (Ср. разд. 8.7). Мы» сделаем сейчас эти формулы более явными, начиная с конечномерного случая.

Мы хотим вычислить след действия общего элемента из тора когда однородное линейное расслоение, связанное с характером к тора Мы будем предполагать, что достаточно общий элемент и что его степени плотны в Множество неподвижных точек для можно в этом случае отождествить с группой Вейля Действительно, если смежный класс неподвижен, то а значит, т. е. к лежит в нормализаторе тора

Если то действие изоморфно отображает так, что действие на второй паре соответствует действию на первой паре. Действие на слое расслоения в отмеченной точке задается характером к, а касательное пространство можно отождествить с подпространством которое порождено отрицательными корневыми векторами. Поэтому характеры группы которые встречаются: в двойственном пространстве это положительные корни.

Предложение (14.2.2). (Первая форма формулы Вейля характеров.) Характер неприводимого представления G с младшим весом к равен

Здесь а пробегает положительные корни группы и мы в наших обозначениях снова различаем линейные формы и соответствующие гомоморфизмы Для же и для любой функции на Т мы обозначаем через функцию где какой-нибудь, представитель

Пример. Пусть и пусть максимальный тор Т отождествляется с Т с помощью отображения и

Пусть к Однородное пространство это комплексная проективная прямая на которой Т действует поворотами, оставляющими полюсы неподвижными. Элемент действует на касательное пространство в отмеченной точке как а нетривиальный элемент группы Вейля

действует на переводя и в Тогда

Если это, конечно, характер действия G на однородных многочленах степени в однородных координатах на

Формулу (14.2.2) можно переписать чуть иначе. Каждый элемент переставляет корни группы G и переводит некоторое число положительных корней в отрицательные. Поскольку то

где сумма всех положительных корней а, таких, что отрицательный корень. Это дает нам

Предложение (14.2.4). (Вторая форма формулы Вейля для характеров.)

Замечание. Если, как обычно, полусумма положительных корней, то и мы можем переписать нашу формулу в виде

Применяя эту формулу к тривиальному представлению, т. е. при и получаем знаменитое тождество — формулу Вейля для знаменателя

Пример. Пусть тогда симметрическая группа знак Характер переводит а положительные корни — это при Формула (14.2.5) превращается в разложение определителя Вандермонда

Доказательство формулы Вейля для характера с современной точки зрения вытекает из теоремы Атьи — Ботта — Лефшеца о неподвижных точках [6]. Эта теорема утверждает, что если характер представления G на где пучок голоморфных сечений линейного расслоения то левая часть формулы из предложения (14.2.2) равна . Известно, впрочем, что если расслоение возникает из антидоминантного веса и мы напишем то при а потому знакопеременная сумма сведется к нужному характеру

Отметим, что известно по крайней мере четыре совершенно различных метода для доказательства того, что при и антидоминантном весе Один из них состоит в том, чтобы заметить, что — «положительное» линейное расслоение, т. е. его кривизна в определенном смысле положительна, а тогда можно воспользоваться теоремой Кодаиры об обращении в нуль, которая основана на теории Ходжа. Другой путь — доказать, что если антидоминантный вес, то

где для всех и всех если элемент максимальной длины, то обращается в нуль при по соображениям размерности. Ботт дал очень простое прямое доказательство формулы (14.2.6) в [15, (10.5)]. Два других доказательства утверждения об обращении когомологий в нуль будут упомянуты в разд. 14.5.

Известные аналитические доказательства формулы Вейля для характеров — одно уже описанное и второе, которое будет описано в разд. 14.5, — очень интересны и поучительны, но следует признать, что они гораздо длиннее и зависят от гораздо более глубоких результатов, чем простые алгебраические рассуждения, которые мы приведем в разд. 14.4 и которые работают также в бесконечномерном случае.