4.8. Ограничение расширения на подгруппу LT

Если максимальный тор в то решетка обычно обозначаемая нами через есть подгруппа в и мы можем рассматривать ограничения на нее расширений Мы знаем описание возникающего расширения группы с помощью Т лишь в случае, когда группа с простыми связями, но в этом случае результат весьма удивителен, причем он является основой конструкции фундаментального представления группы с помощью «вертексных операторов» (см. гл. 13). Выберем в представителей элементов так что общий элемент группы может быть записан в виде

Предложение (4.8.1). Если односвязная группа с простыми связями, то представители могут быть выбраны так, что умножение в задается формулой

где - произвольная билинейная форма, такая, что

форма на определяющая расширение

Замечание. Если основная форма на то формула умножения очень напоминает соотношения скобки (2.5.1) для: образующих алгебры

Доказательство. Поскольку любое абелево расширение группы с помощью Т тривиально, то расширение полностью определяется своим коммутаторным отображением являющимся кососимметричным биаддитивным. отображением

Таким образом, мы должны показать, что Выбирая пути в из единицы в и и используя описание группы данное в разд. 4.4, мы видим, что задача состоит в доказательстве того, что

где а — произвольный кусок поверхности, ограниченный двумя: путями ведущими из 1 в Поскольку группа А порождена кокорнями, эту формулу достаточно доказать для случая, когда и положительные кокорни. Мы также можем считать, что есть основное скалярное произведение на

Для каждого кокорня имеется канонический гомоморфизм ограничение которого на диагональные матрицы есть Определим путь из единицы в как где задается формулами

Рассмотрим теперь кусок поверхности в задаваемый отображением

где Замечая, что

и

мы видим, что Поскольку ограничен путями мы видим, что достаточно проинтегрировать со по куску поверхности, ограниченному и

Рис. 1.

Если то так что в этом случае формула (4.8.2) выполняется.

Рассмотрим теперь поверхность

задаваемую отображением Довольно утомительная проверка снова показывает, что Поверхность ограничена путями и путем

Но сопряжение посредством

нормализует подгруппу и соответствует отображению

группы Поэтому

где некоторая петля в Интерес представляет лишь, случай Тогда

Поскольку есть стандартная -форма на нам осталось лишь доказать, что интеграл формы по куску поверхности в ограниченному петлей равен Подходящая поверхность задается отображением

где

Вычисление требуемого интеграла не составляет проблемы.

Теперь мы можем выписать явно коцикл, задающий ограничение расширения на Элементы группы имеют вид, где отображение, такое, что величина

постоянна и лежит в решетке Будем обозначать через среднее значение отображения на отрезке

Предложение (4.8.3). Если односвязная группа с простыми связями, то расширение группы индуцируемое расширением задается коциклом с, где

и

Здесь билинейная форма на А. та же, что и в (4.8.1).

Доказательство. Заметим сначала, что с есть корректно определенное отображение Оно является коциклом в силу своей бимультипликативности, поэтому оно определяет некоторое расширение группы

Над компонентой единицы в наше расширение полностью определяется соответствующим коциклом на алгебре Ли (см. обсуждение LUn в разд. 4.7). Ясно, что коцикл с индуцирует правильный коцикл на алгебре Ли. Далее, в силу предложения (4.8.1) с описывает правильное расширение решетки хотя представители классов смежности заменены теперь на для завершения доказательства достаточно проверить, что с задает правильное присоединенное действие группы на алгебре Ли Но присоединенное действие было вычислено в предложении (4.3.2); легко видеть, что оно совпадает с действием, задаваемым с помощью с.

Замечание. Коцикл из предложения (4.8.3) не инвариантен относительно действия группы на причем его нельзя сделать инвариантным никаким выбором представителей классов смежности. Если представитель отображения выбран так, что выполняется (4.8.3), то для имеем

где

В частности, если поворот на угол а, то

Сложно выглядящее выражение из предложения (4.8.3) было выбрано из всех коциклов, описывающих то же расширение группы для того чтобы сделать формулу (4.8.5) наиболее простой.