3. Детерминантное расслоение и «тау»-функция

В этом разделе мы построим голоморфное линейное расслоение Det на Для простоты ограничимся связной компонентой грассманиана, состоящей из подпространств виртуальной размерности нуль: символ будет обозначать теперь именно эту компоненту. Мы рассматриваем Det как детерминантное расслоение, т. е. расслоение, слой которого над это максимальная внешняя степень подпространства Наша первая задача — объяснить, как придать этому смысл.

На грассманиане -мерных подпространств в слоем детерминантного расслоения в является Типичный элемент из записывается в виде Лауъгде базис в Аналогично, элемент из при это бесконечное выражение где так называемый допустимый базис для Основное свойство допустимых базисов состоит в следующем: бесконечная матрица перехода между двумя допустимыми базисами имеет определитель, ибо мы хотим, чтобы

при

Напомним (см., например, [19]), что оператор имеет определитель, если и только если он отличается от единичного на оператор со следом. Подпространства которые мы рассматриваем, обладают тем свойством, что проекция фредгольмов оператор с индексом нуль. Это означает, что в содержатся последовательности такие, что

(i) линейное отображение переводящее непрерывно, инъективно и его образ совпадает с и

(ii) матрица, связывающая отличается от единичной на оператор со следом.

Такая последовательность будет называться допустимым базисом. (Возможный выбор для -это обратный образ относительно проекции которая является изоморфизмом (см. [17, (7.1.17)].)

Мы будем рассматривать как -матрицу

со столбцами где -оператор со следом; блок автоматически является компактным оператором. Базис определяется по с точностью до умножения справа на -матрицу (или на оператор которая принадлежит группе всех обратимых матриц таких, что матрица со следом. (Топология на определяется следовой нормой.) Так как операторы из обладают определителями, мы можем задать элемент из как пару где это некоторый допустимый базис в отождествляется с если для некоторой матрицы (Мы можем записывать также в виде

Совсем точно, пространство матриц снабжается топологией операторной нормы на и следовой нормы на Тогда превращается в главное -расслоение на тотальное пространство это где действует на С с помощью

Теперь мы пришли к основному различию между конечномерным и бесконечномерным случаем. Группа действует на и на тотальном пространстве детерминантного линейного расслоения: если то определяется как Мы видели, что соответствующая группа для это не полная линейная группа а связная компонента единицы меньшей группы обратимых операторов в вида

(относительно разложения где и с компактны. Но это действие на не индуцирует автоматически действия на так как если -допустимый базис для то обычно не является допустимым базисом для Чтобы справиться с этой трудностью, мы введем чуть меньшую группу состоящую из обратимых операторов вида (3.1), у которых блоки и с обладают следом. Топология на определяется операторной нормой на и следовой нормой на Мы увидим, что действие связной компоненты единицы группы на поднимается до проективного действия на Другими словами, имеется центральное расширение группы с помощью которое действует на накрывая действие на

Чтобы получить преобразование мы должны задать не только преобразование но и некоторую информацию о том, как заменить недопустимый базис допустимым Для этого мы введем подгруппу состоящую из пар таких, что -оператор со следом, где а определено в (3.1). (Мы снабдим топологией, индуцированной вложением Определение группы сконструировано таким образом, чтобы она действовала на пространстве допустимых базисов следующим образом:

и, значит, действовала и на

У группы есть гомоморфизм на Его ядро, очевидно, отождествляется с Поэтому возникает расширение

Но подгруппа состоящая из операторов с определителем 1, тривиально действует на и потому фактически на Det действует группа Эта группа является центральным расширением группы с помощью

Расширение

является нетривиальным расслоением: не существует непрерывного сечения и это расширение нельзя описать непрерывным коциклом. Но на плотном открытом множестве где оператор а обратим, есть сечение

а именно ; соответствующий коцикл равен

где Мы всегда будем считать, что элементы из действуют на Det с помощью сечения Конечно, не группа и отображение не мультипликативно. Однако рассмотрим подгруппу элементов из вида Тогда ограничение на является вложением групп мы можем рассматривать действие на расслоении Аналогичные замечания справедливы и для подгруппы состоящей из элементов вида В частности, подгруппы в группе отображений действуют на поскольку

х-функция

Мы добрались, наконец, до нашей основной цели в этом разделе, до определения -функции.

Кроме уже рассмотренного детерминантного расслоения Det имеется двойственное расслоение слои которого двойственны к слоям Точкой Det над можно считать пару где допустимый базис в и отождествляется с если для некоторого Действие на Det индуцирует действие на Линейное расслоение Det имеет каноническое глобальное голоморфное сечение а, определенное формулой

где допустимый базис для Мы можем считать определителем ортогональной проекции заметим, что если и только если не трансверсально Сечение не эквивариантно относительно действия на Для любого назовем х-функцией подпространства голоморфную функцию определенную соотношением

где некоторый ненулевой элемент в слое Det над Вообще говоря, канонического выбора не существует, поэтому функция определена лишь с точностью до постоянного множителя. Однако, если трансверсально естественно

выбрать значит, «тау»-функция задается соотношением трансверсального

Легко привести явную формулу для в виде бесконечного определителя.

Предложение (3.3). Пусть имеет вид

относительно разложения тогда для имеем

где некоторый допустимый базис в В частности, если трансверсально и нормализовано, как в (3.2), то

где отображение, графиком которого является Это предложение непосредственно следует из определений.

Пример

Интересный пример пространства из связан, как мы увидим, с -солитонным решением уравнения

Пусть ненулевые комплексные числа, такие, что и все различны; пусть набор ненулевых чисел. Тогда обозначает замыкание пространства функций голоморфных в единичном диске, за исключением полюса порядка в нуле, которые удовлетворяют условиям при Для вычисления мы сначала вычислим отображение с графиком Оно сопоставляет элементу многочлен

такой, что лежит в Ясно, что является линейной комбинацией где

чтобы равнялось нулю, если обращается в нуль. Фактически где

и трансверсально в точности тогда, когда

Чтобы применить (3.5), мы должны также вычислить отображение соответствующее элементу из Мы запишем в виде

Пусть переводит Прежде чем определить отметим, что бесконечный определитель вида

сводится к определителю -матрицы с -элементом

Поэтому

Для имеется выражение

здесь проекция на это разложение поэтому

Детерминант этой матрицы после очевидных операций со столбцами сводится к

где для нечетного для четного,

Постоянный множитель можно игнорировать.

В § 5 мы увидим, что является решением уравнения Оно обычно называется -солитонным решением.

Проективные множители на

Результаты этого раздела будут использоваться только в § 9. Действия групп на очевидно, коммутируют друг с другом. Однако их действия на Det не коммутируют между собой, и нам необходимо знать связь между ними. Заметим, что, так как диски односвязны, элементы можно единственным образом представить в виде где голоморфные отображения, такие, что Если у — элемент из или мы будем писать вместо соответствующего автоморфизма расслоения

Предложение (3.6). Пусть и Тогда

где, если, как и раньше, то

а

Доказательство. Из определения действий на Det непосредственно следует, что имеется формула такого вида, причем

где — это для выписанного коммутатора есть определитель, так как из того, что коммутируют, следует, что он равен где — внедиагональные блоки для являющиеся операторами со следом.) Отображение с является гомоморфизмом из легко получить, что оно имеет желаемый вид с

где — это -блоки для Теперь, если матричный -элемент коммутатора равен

Поэтому след равен

как и утверждалось.

Лемма (3.7). Сечение расслоения Det эквивариантно относительно действия

Лемма (3.8). Для

где, как и раньше,

Обе леммы непосредственно следуют из определений.

Общие замечания

В теории групп петель, таких, как группа гладких отображений важную роль играет существование центрального расширения

Это расширение (по крайней мере над связной компонентой единицы группы является ограничением центрального расширения построенного в этом разделе, когда обычным способом вкладывается в

На уровне алгебр Ли это расширение можно очень просто описать для группы петель любой редуктивной группы Алгебра Ли группы это векторное пространство петель со значениями в алгебре Ли группы а расширение определяется коциклом

где

а — это подходящим образом нормированная инвариантная билинейная форма на

Существование соответствующего расширения групп менее очевидно (ср. [18]) отчасти потому, что оно нетривиально как топологическое расслоение. Обсуждение в этом разделе дает

конкретную реализацию как группы голоморфных автоморфизмов линейного расслоения Det в случае так как элементы из отображающиеся в это в точности голоморфные отображения расслоения которые накрывают у на фиксированного у возможные выборы у отличаются на константу в соответствии с тем, что любая голоморфная функция на постоянна.)

Соответствующее центральное расширение группы петель для любой комплексной редуктивной группы (характеризуемое своим коциклом на алгебре Ли) можно построить подобным же образом как группу голоморфных автоморфизмов некоторого комплексного линейного расслоения, и наоборот, голоморфное линейное расслоение определяется этим центральным расширением. Это объяснено в [17]. В общем случае линейное расслоение не имеет такого простого описания.