6.10. Обобщения на другие группы отображений

В определении (6.2.1) группы идеал (Н) операторов Гильберта — Шмидта можно заменить произвольным симметрически нормированным двусторонним идеалом 9 (см, [137]). Обозначим получающуюся группу через Наибольшим таким идеалом 3 является идеал компактных операторов; кроме того, для каждого имеется идеал состоящий из таких операторов что Все группы по своим свойствам очень похожи на Их гомотопический тип не зависит от (см. [121]) и имеется расширение

где группа стягиваема, а — это группа обратимых операторов, принадлежащих Однако гомоморфизм определителя позволяющий построить центральное расширение с помощью существует, лишь если т. е. Иными словами, если то основной двумерный класс когомологий пространства не может быть представлен левоинвариантной дифференциальной формой.

Посмотрим теперь, насколько далеко может быть обобщена теория этой главы при замене группы петель на группу где X — некоторое компактное гладкое многообразие.

Легко строится ряд вложений

их классификация есть интересный вопрос из алгебраической топологии. Если X нечетной размерности и является «спинорным многообразием» (т. е. оно ориентируемо и удовлетворяет слабому дополнительному глобальному ограничению, что его второй класс Штифеля — Уитни равен нулю), то на нем имеется комплексное векторное расслоение называемое расслоением спиноров. Слои имеют размерность Имеется

также самосопряженный дифференциальный оператор первого порядка (оператор Дирака), действующий в пространстве сечений расслоения Если пространство -сечений расслоения то мы можем записать его в виде где порождено собственными функциями оператора с положительными (соответственно отрицательными) собственными значениями. Группа действует на операторами умножения; аналогично, группа действует на пространстве сечений расслоения Это действие определяет вложение группы

Более общим образом, имеется вложение

соответствующее произвольной паре где векторное расслоение на X, а самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве Н -сечений расслоения такой, что

(ii) для каждой непрерывной функции на X оператор компактен.

Если то группа связных компонент группы почти по определению есть обобщенная группа когомологий Атьи и Хирцебруха [3]. Эта группа тесно связана с классическими когомологиями

будучи тензорно умноженной на рациональные числа, она становится изоморфной им. Переход к связным компонентам в (6.10.1) дает гомоморфизм

Проявляя несколько большее усердие, несложно показать, что пара определяет элемент обобщенной группы гомологий и что это естественное спаривание с Более того, таким образом получаются все элементы группы

Вложение, определяемое оператором Дирака, является основным среди вложений его класс есть фундаментальный класс многообразия X, а соответствующее отображение (6.10.2) является «отображением Гизина» в -теории. Если X — сфера, то есть отображение периодичности Ботта.

Предшествующие утверждения кратко резюмируют легкую часть обширной теории, развитой Атьей [4], Каспаровым [90]

и Конном [32]. Слегка отличающийся подход к тому же материалу развит в [23], где доказано, что элементы группы можно отождествить с классами изоморфизма расширений алгебр

где - алгебра непрерывных комплекснозначных функций на Такое расширение алгебр, очевидно, определяет групповое расширение

Это расширение получается взятием обратного образа расширения под действием вложения

Однако с точки зрения настоящей книги от группы не слишком много прока, поскольку о ее представлениях ничего неизвестно. Для того чтобы вложить нам нужно использовать такие пары что оператор есть оператор Гильберта — Шмидта для всех гладких функций На языке Брауна, Дугласа и Филлмора нам нужно изучить расширения

алгебры гладких функций с помощью идеала операторов со следом. Эти расширения изучались в [73]. Они соответствуют элементам группы являющейся канонической подгруппой в Соответствующие расширения — это те «неинтересные» расширения, которые мы нашли в гл. 4.

Вероятно, лучше всего представлять себе ситуацию, пользуясь языком псевдодифференциальных операторов [144]. На практике будет задаваться псевдодифференциальным оператором нулевого порядка. Тогда коммутатор гладкая функция, будет оператором порядка —1. На многообразии размерности такой оператор принадлежит идеалу при Таким образом, при он, как правило, не будет оператором Гильберта — Шмидта.

Пример. Рассмотрим поляризацию, соответствующую оператору Дирака, на торе X нечетной размерности т. е. Спинорное расслоение на X есть тривиальное расслоение, слой А которого (где ) является неприводимым модулем над алгеброй Клиффорда порожденной элементами такими, что при Оператор Дирака в пространстве отображений есть

Если разложить функции в ряды Фурье, так что пространство отождествится с то превратится в оператор умножения

(здесь получается действием элемента на Соответствующий оператор поляризации есть умножение на Коммутатор где умножение на скалярнозначную функцию представляется ядром

на Разность есть самосопряженный оператор на квадрат которого равен

где угол между Если поддерживать фиксированным, то при величина убывает как Поэтому ядро (6.10.3) квадратично суммируемо, лишь если . В общем случае оно принадлежит классу Шаттена когда