3.5. Подгруппы в LG: полиномиальные петли

Время от времени нам будут требоваться подгруппы из [Наиболее очевидной из них является группа вещественно-аналитических петель. Если G вложена в унитарную группу так что петля у в G есть матричнозначная функция и может «быть разложена в ряд Фурье

то вещественно-аналитические петли — это те, для которых этот ряд сходится в некотором кольце с т. е. такие, что Для некоторого ограничено по всем Естественная топология на получается, если рассматривать ее как прямой предел банаховых групп Ли состоящих из функций, голоморфных в кольце группа имеет топологию равномерной сходимости. Нетрудно убедиться в том, что есть группа Ли с алгеброй Ли (выбор вложения не имел значения и в действительности не был реально использован; он был введен лишь для конкретности).

Чуть меньшей подгруппой является подгруппа рациональных петель, т. е. петель, значения которых как матрично-значных функций являются рациональными функциями от 2, не имеющими полюсов при (рациональная функция означает отношение двух многочленов). Мы не будем углубляться в вопрос выбора подходящей топологии на отметим только, что она является плотной подгруппой в

Наименьшая из подгрупп, которые мы будем рассматривать, — это группа петель, матричные значения которых являются конечными многочленами Лорана от т. е. петель вида (3.5.1), у которых лишь конечное число матриц

отлично от нуля. Эта группа есть объединение подмножества состоящих из петель (3.5.1), для которых при: Каждое из этих подмножеств естественно является компактным пространством, и мы снабжаем топологией прямого предела. Эта группа соответствует алгебре Ли всех конечных рядов

где принадлежит комплексифицированной алгебре Ли Как векторное пространство она есть прямой предел? своих конечномерных подпространств и она снабжается топологией прямого предела. Разумеется, экспоненциального» отображения не существует, так как экспоненциал конечного ряда (3.5.2), как правило, не является конечным: рядом.

Группа обладает комплексификацией состоящей из тех петель в которые вместе со своими обратными задаются конечными многочленами Лорана (3.5.1) (в случае группы нам не нужно было говорить «вместе со своими обратными», так как для имеем так что обратная к полиномиальной петле автоматически полиномиальна). Если то есть в точности . В общем случае, если G представлять себе как алгебраическую то есть группа «точек группы G со значениями в смысле алгебраической геометрии.

Группа не всегда плотна в Например, если состоит лишь из петель т. е. компонента" единицы в это просто постоянные петли (так как обращение непостоянного многочлена не может быть многочленом). Поэтому следующий результат вызывает некоторое удивление

Предложение (3.5.3). Если группа G полупроста, то плотна в

Доказательство. Пусть — замыкание подгруппы в подмножество в образованное касательными векторами такими, что соответствующая однопараметрическая подгруппа лежит в Важное наблюдение состоит в том, что V - векторное пространство. Чтобы убедиться в том, что замкнуто относительно сложения, достаточно воспользоваться формулой

это верно поскольку для подходящей окрестности единицы последовательность отображений заданных формулой

сходится в -топологии.

Ясно, что V — замкнутое подпространство в Для доказательства предложения (3.5.3) достаточно показать, что (поскольку экспоненциальное отображение в локально «сюръективно).

Сначала рассмотрим случай Тогда элементы

лежат в V, так как соответствующие однопараметрические подгруппы лежат в (поскольку ). По линейности в силу своей замкнутости V содержит все элементы вида

где f и g - гладкие вещественнозначные функции на окружности. Но V инвариантно относительно сопряжения постоянными элементами из поэтому мы должны иметь

Общий случай получается обычным образом, поскольку для любой полупростой группы G имеется конечное число гомоморфизмов для которых образы алгебры Ли порождают (это доказывает, что замыкание подгруппы содержит компоненту единицы в доказательство завершается наблюдением, что содержит по крайней мере по одному элементу из каждой связной компоненты в