4.4. Групповые расширения в случае односвязной группы G

Не все из описанных нами расширений алгебр Ли соответствуют группам Ли. Для того чтобы это было так, должно выполняться некоторое условие целочисленности. Коцикл на

алгебре Ли есть кососимметрическая форма на касательном пространстве к в единице; поэтому она определяет левоинвариантную 2-форму на причем условие коцикла (4.2.3) превращается в утверждение, что эта дифференциальная форма, замкнута.

Теорема (4.4.1). (i) Если группа G односвязна, то расширение алгебр Ли

определяемое коциклом , соответствует групповому расширению

тогда и только тогда, когда дифференциальная форма представляет целочисленный класс когомологий на т. е. ее интеграл по любому циклу в является целым числом.

(ii) В этом случае групповое расширение полностью определяется по причем имеется единственное действие группы на накрывающее ее действие на LG.

(iii) Если форма не является целочисленной ни для какого ненулевого вещественного числа X, то не соответствует никакой группе Ли.

(iv) Коцикл со, определяемый формулой (4.2.2), удовлетворяет условию целочисленности тогда и только тогда, когда есть четное целое число для всех кокорней (см. разд. 2.4).

Замечание. Часть расширения над подгруппой G постоянных петель канонически изоморфна ввиду отсутствия нетривиальных гомоморфизмов Поэтому мы будем часто представлять себе группу G как подгруппу в

Сразу же отметим, что непосредственно вытекает из В самом деле, если вообще имеется группа соответствующая алгебре Ли то она будет расширением группы либо с помощью либо с помощью причем расширение с помощью порождает расширение с помощью Т-Мультипликатор X соответствует различным способам отождествления алгебры Ли группы Этот результат вместе с теоремой дает нам класс алгебр Ли, не соответствующих никакой группе Ли; в самом деле, если у группы G более одного простого множителя, то общее инвариантное скалярное произведение на не кратно скалярному произведению, удовлетворяющему условиям целочисленности.

Часть «тогда» теоремы (4.4.1) (i) выводится из следующего весьма общего результата, который будет доказан в разд. 4.5. К части «только тогда» мы вернемся в предложении (4,5.6).

Предложение (4.4.2). Пусть группа Ли гладко действует на связном и односвязном многообразии X, оставляя инвариантной целочисленную замкнутую -форму на и X могут быть бесконечномерными). Тогда с канонически связывается расширение группы с помощью причем для любой точки соответствующее расширение алгебр Ли может быть представлено коциклом

где обозначает касательный вектор в точке соответствующий действию инфинитезимального элемента группы

Группу из этого предложения можно описать весьма явно. Целочисленная замкнутая -форма позволяет сопоставить каждой кусочно-гладкой петле элемент группы Т по формуле

кусок поверхности в X, ограничиваемый петлей I (если — две такие поверхности, то отличаются на кратное поскольку форма целочисленна, поэтому определен корректно). Сопоставление обладает следующими тремя свойствами:

(H1) независимость от параметризации, т. е. если произвольное кусочно-гладкое отображение степени 1;

(Н2) аддитивность, т. е. где три пути из обозначает петлю, получаемую прохождением а затем обратного к

(Н3) Г-инвариантность, т. е. для всех

Каждое отображение с этими тремя свойствами следующим образом определяет центральное расширение группы с помощью Выберем отмеченную точку в Тогда элементы группы представляются тройками где путь в X из Две тройки считаются эквивалентными, если

Композиция в задается формулой

Легко проверить, что группа определена корректно.

Только что данное описание группы очень удобно, и мы в этой главе будем им часто пользоваться. Однако, это не лучший способ увидеть, что есть группа Ли, или понять ее глобальную топологию; по этой причине в следующем разделе мы дадим другое доказательство (4.4.2).

Для построения требуемых центральных расширений группы можно применить предложение (4.4.2) к поскольку если G односвязана, то также односвязна. В самом деле, как пространство есть произведение где подгруппа постоянных петель, подгруппа петель у, таких, что Таким образом,

Тот факт, что для любой компактной группы Ли, является классической теоремой; сейчас мы примем его на а доказательство будет дано в разд. 8.6.

Из явной конструкции группы ясно, что на ней действует группа так как действует на сохраняя -форму и оставляя единичный элемент неподвижным. Это доказывает часть утверждения Доказательство что других расширений группы индуцируемых коциклом на алгебре Ли, нет, отложим до следующего раздела.

Займемся теперь утверждением Имеется так называемый гомоморфизм трансгрессии

(где когомологии имеют либо вещественные, либо целые коэффициенты), определяемый как композиция

где первое отображение индуцировано отображением вычисления а второе есть интегрирование по (ср. [18, р. 247]). Если G односвязна, то трансгрессия является изоморфизмом: с помощью изоморфизмов Гуревича она сводится к изоморфизму, сопряженному к очевидному изоморфизму Таким образом, получается сопоставлением следующих двух результатов.

Предложение (4.4.4). Пусть а обозначает левоинвариантную -форму на значение которой в единичном элементе задается формулой

Тогда трансгрессия когомологична инвариантной форме на

Предложение (4.4.5). Кососимметричная форма а из предложения (4.4.4) определяет целочисленный класс когомологий на односвязной группе G тогда и только тогда, когда для всех кокорней

Доказательство (4.4.5). Для каждого корня а имеется гомогморфизм индуцирующий на диагональных матрицах в кокорень см. разд. 2.4. При взятии обратного образа формы на относительно получается форма где инвариантная -форма на с интегралом 1. Поэтому (4.4.5) вытекает из того факта, что отображения порождают группу Достаточно доказать это для простых групп причем можно также заменить G любой локально изоморфной группой. После этого нужно показать, что для подходящего корня а однородное пространство является -связным. Это очевидно для классических групп. Мы отсылаем к [14] за простым доказательством средствами теории Морса, работающим во всех случаях. На самом деле в качестве а всегда можно взять старший корень.

Доказательство (4.4.4). При взятии обратного образа формы на ее значение в точке на тройке касательных векторов есть

где Это выражение надо проинтегрировать по и сравнить с

Рассмотрим -форму на заданную формулой

Простое вычисление показывает, что

Если — простая алгебра, то все инвариантные скалярные произведения на ней пропорциональны, так что имеется

наименьшее из них, удовлетворяющее условию целочисленности (4.4.5). Назовем его основным скалярным произведением, а соответствующее центральное расширение — основным центральным расширением группы Для группы G с простыми связями основное скалярное произведение обсуждалось в разд. 2.5; для него для всех кокорней. В общем случае оно характеризуется свойством, что для старшего корня а. Форма Киллинга на удовлетворяет условию целочисленности, так что она является целочисленным кратным основной формы. Формула для коэффициента пропорциональности будет получена в разд. 14.5. Если группа с простыми связями, то он равен числу Коксетера (,[20, гл. VI, § 1, п° 11]) группы

Основное центральное расширение является универсальным.

Предложение (4.4.6). Если группа G односвязна и проста, то расширение соответствующее основному скалярному произведению, также односвязно. Оно является единственным односвязным расширением группы с помощью Т и универсальным центральным расширением в категории групп Ли. Кроме того,

Доказательство. Вычислим и из точной гомотопической последовательности расслоения Она дает

Отображение по определению есть вычисление первого класса Чженя нашего расслоения на -сферах в по определению основного расширения первый класс Чженя порождает группу -сферы, соответствующей старшему корню. Поэтому а так как мы знаем, что то и

Для доказательства универсальности рассмотрим произвольное центральное расширение Соответствующее расширение алгебр Ли может быть определено с помощью кососимметричной формы

где алгебра Ли группы А. Поскольку универсально (см. (4.2.4)), мы получаем, что где основной коцикл, а некоторое отображение. Отсюда следует, что если мы поднимем на т. е. рассмотрим подгруппу в состоящую из пар таких, что х и у имеют один и тот же образ в то возникающее расширение алгебры Ли с помощью а будет тривиальным. Но мы

покажем в следующем разделе, что тривиальность расширения односвязной группы, такой, как вытекает из тривиальности соответствующего коцикла на алгебре Ли. Поэтому есть тривиальное расширение группы и его расщепляющее отображение дает искомый гомоморфизм

Отметим, что индуцированный гомоморфизм может быть определен как образ в образующей группы поскольку