7.7. Детерминантное расслоение

В этом разделе мы построим голоморфное линейное расслоение на грассманиане Его слой в точке нужно представлять себе как «старшую внешнюю степень» пространства Мы можем придать этому смысл при помощи понятия допустимого базиса, введенного в разд. 7.5. Элемент пространства по определению представляется формальным выражением

где допустимый базис в Выражение (7.7.1) будем обозначать просто через Если другой допустимый базис в то отождествляется с где -матрица, связывающая

Ясно, что одномерное комплексное векторное пространство, причем объединение пространств по есть линейное расслоение Мы должны, однако, объяснить, как превратить в комплексное многообразие и почему расслоение локально тривиально.

Для каждого множества нас есть открытое множество отождествляемое с графиками операторов

Гильберта — Шмидта График оператора имеет допустимый базис где

Отождествим часть пространства Det над посредством соответствия

где задается формулой (7.7.2). Переход между этими локальными тривиализациями устроен следующим образом. Предположим, что лежит где мы знаем, что

где

— матрица перестановки, связывающая Тогда

где

Это голоморфная функция от что и требуется (для полной конкретности, это просто конечномерный определитель, образованный строками А и столбцами В матрицы где

Грассманиан является однородным пространством относительно действия ограниченной полной линейной группы Естественно было бы ожидать, что это действие группы поднимается до действия на линейном расслоении Это, однако, не совсем так, поскольку если есть допустимый базис для то вообще говоря, не является допустимым базисом в Расширение группы с помощью описанное в гл. 6, было построено как раз для того, чтобы справиться с этой ситуацией.

Теорема (7.7.3). Действие на накрывается действием группы на линейном расслоении

Доказательство. Сначала рассмотрим связную компоненту состоящую из пространств виртуальной размерности 0.

Допустимый базис для такого есть изоморфизм который мы можем записать в виде -матрицы

такой, что оператор имеет определитель. Напомним, что подгруппа определяется как множество пар таких, что имеет определитель, где

Определим действие группы на множестве допустимых базисов, полагая

Это определение корректно, поскольку оператор имеет определитель. Тогда действует на Det по формуле

Подгруппа в состоящая из пар ( действует на Det тривиально, а значит, мы определили действие группы Но это компонента единицы о группы

Чтобы заставить группу о действовать на части расслоения Det над множеством подпространств виртуальной размерности напомним, что мы определяли автоморфизм а группы накрывающий автоморфизм группы Здесь отображение сдвига, задаваемое умножением на 2. Мы определим действие элемента о на как действие где

определяется формулой Поскольку есть полупрямое произведение о и циклической подгруппы, лорожденной , мы получили действие группы на

Замечания, (i) Групповое расширение о можно построить непосредственно из линейного расслоения . В самом деле, это группа всех голоморфных автоморфизмов расслоения накрывающих действия элементов группы о на (если автоморфизмы расслоения накрывающие одно и то же отображение на то должен быть операцией умножения на голоморфную

функцию на нигде не обращающуюся в нуль, но все такие функции постоянны (см. предложение (7.2.2)).

(ii) Линейное расслоение Det обладает естественной эрмитовой метрикой, для которой

Она сохраняется под действием группы Поэтому расслоение на единичные окружности в Det можно отождествить с а его класс Чженя представляется инвариантной формой, определенной в (6.6.5).

Вернемся к плюккерову вложению, определенному в разд. 7.5. Плюккеровы координаты могут рассматриваться как голоморфные сечения линейного расслоения двойственного . В самом деле, голоморфное сечение расслоения это голоморфная функция линейная на слоях. Координата определяет такую функцию посредством соответствия

Поэтому гильбертово пространство 36 из предложения (7.5.2) содержится в пространстве, двойственном к пространству всех голоморфных сечений расслоения . В гл. 10 мы увидим, что оно является плотным подпространством в этом двойственном пространстве. Пока же просто заметим, что вложение возникает из голоморфного отображения

линейного на слоях. Таким образом, линейное расслоение Det является обратным образом тавтологического линейного расслоения на (36) (см. разд. 2.9).

Отображение сохраняет норму, что видно из формулы (7.5.3).

Предложение (7.7.5). Отображение эквивариантно относительно полугруппы если преобразование действует на по формуле

Здесь где

Доказательство. Достаточно соединить доказательство (7.6.4) с тем фактом, что действие преобразования на элемент где допустимый базис, задается формулой

Более общие детерминантные расслоения

Детерминантное расслоение в действительности может быть определено на большем пространстве, чем Обозначим через множество замкнутых подпространств таких, что проекция есть оператор Фредгольма, а проекция компактный оператор. Тогда наша конструкция применима без всяких изменений и задает голоморфное линейное расслоение Det на Ключевое различие, однако, состоит в том, что это расслоение на не является однородным: на нем действует лишь подгруппа из состоящая из элементов, внедиагональные блоки которых являются операторами со следом.

Линейное расслоение Det на по существу совпадает с детерминантным расслоением на пространстве фредгольмовых операторов в введенным Квилленом [124]. Слой расслоения Квиллена в точке равен

Эти два расслоения связаны следующим образом. Обозначим через пространство инъективных отображений таких, что лежит в Тогда имеются голоморфные отображения

Оба этих отображения имеют стягиваемые слои. Обратные образы на детерминантных расслоений на и дают одно и то же расслоение, причем расслоение на есть фактор расслоения на по очевидному свободному действию группы