10.3. Кольцо симметрических многочленов

Следующая наша цель — показать, что можно представить как сумму полиномиальных алгебр, каждая из которых изоморфна кольцу универсальных симметрических многочленов. Это будет сделано в разд. 10.4. В этом разделе мы кратко напомним основные моменты классической теории симметрических многочленов, следуя блестящему изложению Макдональда [108].

Как известно, подкольцо в кольце многочленов от переменных состоящее из многочленов,

симметричных по им, само является кольцом многочленов

которое порождено элементарными симметрическими функциями от Многочлен определяется как коэффициент при Заметим, что при имеется естественное отображение ограничения

которое переводит в нуль при а индуцированное отображение переводит при в нуль при

Кольцо универсальных симметрических многочленов определяется как абстрактное кольцо многочленов от последовательности переменных Оно отображается в любое и поэтому его элементы можно рассматривать, допуская небольшую вольность, как «симметрические многочлены от бесконечного числа переменных». Наиболее важная теорема о симметрических функциях состоит в том, что функции Шура занумерованные разбиениями образуют целочисленный базис в Здесь разбиение означает последовательность целых чисел, лишь конечное число которых отлично от нуля, таких, что

Мы дадим определение функций ниже; их традиционное обозначение За доказательством этой теоремы отсылаем читателя к работе [108].

Мы должны отметить основную причину, по которой важны функции Шура, хотя сейчас это и не станет вполне очевидным. Функции соответствующие разбиениям с не более чем частями, т. е. те, для которых при образуют базис в Их можно считать функциями на унитарной группе если собственные значения матрицы А, то функции Шура от это характеры всех неприводимых представлений группы Точнее, — характер представления группы со старшим весом

где элементы диагональной матрицы из (Любое неприводимое представление группы получается из такого умножением на отрицательную степень Как

функция от равна где определитель

До того как дать определение в виде многочлена от необходимо сделать еще два замечания. Прежде всего, кольцо совпадает с полиномиальным кольцом где «полные симметрические функции», т. е. это сумма всех одночленов степени по им, каждый с коэффициентом 1. Дело в том, что - это коэффициент при значит, выражаются друг через друга соотношением

где мы считаем, что Поэтому, используя соотношение (10.3.1), можно отождествить и кольцо

Второе замечание состоит в том, что разбиения взаимно однозначно соответствуют индексирующим множествам с виртуальным числом элементов, равным нулю: разбиение соответствующее определяется как Мы будем обозначать функцию Шура также и через Вот определение Рассмотрим -матрицу

элемент которой равен (Мы считаем, что при )

Определение (10.3.3). Функция Шура это определитель, составленный из строк матрицы (10.3.2), принадлежащих

Замечание. Если 5 удовлетворяет условию для если ассоциированное разбиение имеет не более N частей, то матрица определитель которой равен имеет вид

где А — нижняя треугольная матрица с единицами на диагонали, есть -матрица. Мы считаем определителем матрицы определитель конечной матрицы

Примеры. Если то а если то

Другие симметрические функции, которые заслуживают упоминания, — это степенные суммы мы полагаем

в универсальном кольце определяются как целочисленные многочлены от соотношением

Это же соотношение позволяет выразить через но уже с рациональными коэффициентами. Таким образом,

Используя степенные суммы, мы можем ввести скалярное произведение на Пусть абстрактное векторное пространство над с символами в качестве базиса. Определим скалярное произведение на полагая

и если Кольцо это симметрическая алгебра векторного пространства и скалярное произведение на естественным образом распространяется до скалярного произведения на

где суммирование ведется по всем перестановкам множества

Предложение (10.3.6). Функции Шура образуют ортонормирований базис в относительно такого скалярного произведения.

Мы отсылаем читателя к [108] за доказательством.

Упомянем в заключение, что если считать координатными функциями на так что становится кольцом комплексно-значных функций на то определенное выше скалярное произведение — это обычное скалярное произведение в относительно гауссовой меры