6.8. Вложение группы ...

Группа диффеоморфизмов окружности действует на На самом деле действие может быть введено по-разному. Мы выберем унитарное действие, будем рассматривать элементы пространства как -плотности на Таким образом, диффеоморфизм действует на функции посредством где

a g - диффеоморфизм, обратный к

Предложение (6.8.2).

Доказательство. Это утверждение может быть доказано любым из методов предложения (6.3.1). Первым методом это сделано в [131], поэтому здесь мы наметим второй способ доказательства. Представим оператор ядром К из (6.3.2). В силу (6.8.1) ядро, представляющее действие диффеоморфизма есть это -функция Дирака. Поэтому ядро коммутатора равно

Оно приводится к виду

В силу (6.3.2) К есть гладкая функция от обоих своих аргументов, за исключением диагонали, где

Подставляя это в (6.8.3), мы получаем, что ядро оператора всюду непрерывно (более того, гладко), откуда следует, что есть оператор Гильберта — Шмидта.

Имеется, однако, важное различие между поведением групп по отношению к Первая группа отображается в гладко, в то время как вложение группы даже не является непрерывным. В самом деле, топология нормы на а значит, тем более, топология группы индуцирует на дискретную топологию (чтобы убедиться в этом, заметим, что для каждого диффеоморфизма за исключением тождественного, найдется единичный вектор такой, что выберем с носителем в малой окрестности точки из сдвигаемой

диффеоморфизмом Если попытаться формально вычислить гомоморфизм алгебр Ли, индуцированный вложением то векторные поля на 51 будут соответствовать неограниченным операторам в достаточно рассмотреть, например, поле

Несмотря на это, центральное расширение группы рассматриваемой как абстрактная группа, индуцированное расширением все же является группой Ли, а его коцикл на алгебре Ли можно явно вычислить точно так же, как выше в предложении (6.7.1), игнорируя неограниченность операторов. Формальное вычисление проделано в [131]; его обоснование состоит в том, что композиция

где есть коммутант оператора в является гладким отображением, а -коцикл алгебры рассматриваемый как инвариантная форма на фактически происходит из Чтобы убедиться в гладкости отображения (6.8.4), мы заметим, во-первых, что отображение определяет гладкую иммерсию окрестности отмеченной точки в в пространство операторов Гильберта-Шмидта, а во-вторых, что если диффеоморфизм, то коммутатор представляется гладким ядром, гладко зависящим от

Приведем здесь полученный результат.

Предложение (6.8.5). Центральное расширение группы индуцированное расширением тривиально над и соответствующий коцикл на алгебре Ли имеет вид

где

Поскольку группа содержится в она действует сопряжением на расширении а значит, и на подгруппе накрывающей группу Этот подход к действию на проще и естественней подхода, примененного в разд. 4.7.

Предложение (6.8.6). Действие группы на индуцированное вложением последней группы в задается формулой (4.7.3).

Доказательство. Из обсуждения в разд. 4.7 мы знаем, что достаточно проверить действие на алгебре Ли а значит,

достаточно найти действие элемента на В обозначениях, соответствующих обозначениям (6.7.2), нам нужно показать, что

Это доказывается точно таким же вычислением, как в доказательстве (6.7.2): если действие векторного поля записать в виде -матрицы, состоящей из -блоков, то блок есть где это единичная -матрица.

Мы можем также доказать следующую явную формулу, которая будет полезна в дальнейшем (при она согласуется с (4.7.5)).

Предложение (6.8.7). Если есть гомоморфизм а у — представитель петли у в то поворот на угол а действует на у по формуле

где число вращения петли у.

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда а тогда для вычисления можно воспользоваться замечанием (6.6.3). Мы получим

где и есть определитель действия на При вычислении и можно считать, что у — диагональная петля Тогда