6.9. Другие поляризации пространства Н: замена окружности прямой и введение «массы»

В двумерной квантовой теории поля основной интерес представляют функции не на окружности, а на прямой изображающей физическое пространство. Пространство отождествляется с посредством стереографической проекции, т. е.

где мы выбираем Таким образом, гильбертово пространство изометрически изоморфно пространству причем изоморфизм задается соответствием

где

Естественная поляризация пространства задается положительным и отрицательным собственными подпространствами оператора на т. е. — где состоит из функций преобразование Фурье которых, определяемое формулой

равно нулю при Изоморфизм из (6.9.2) задает соответствие

где есть -функция на окружности с разрывом в

Ряд Фурье функции это где

Поскольку ряд расходится, подпространство не входит в Поэтому сопряжение с помощью не определяет автоморфизма группы и группы и определяемые естественными поляризациями, не отображаются друг в друга с помощью изоморфизма из (6.9.2), хотя и являются изоморфными группами.

Группа действует на Як при помощи соответствия (6.9.1) и, аналогично, действует на Но получаемое при этом вложение несущественно отличается от стандартного вложения так как сопряжение посредством индуцирует тождественное преобразование на образе группы

Более интересной является поляризация пространства в соответствии с положительной и отрицательной

частями спектра оператора

где некоторое положительное число. Пространство следует представлять себе как пространство решений уравнения Дирака с массой

на функции тогда разложение есть разложение в соответствии со спектром оператора «энергии» — Как обычно, мы можем образовать тензорное произведение на котором группа петель действует операторами умножения (мы снова используем отождествление (6.9.1)).

Предложение (6.9.4). Действие группы на индуцирует вложение

Доказательство. Если заменить функции на их преобразованиями Фурье, то превратится в оператор умножения в на матричнозначную функцию

Поэтому оператор соответствующий поляризации, есть умножение на функцию 1, где

и (отметим, что ). Если есть элемент группы то нам достаточно показать, что коммутатор является оператором Гильберта — Шмидта. Пусть у — преобразование Фурье функции Коммутатор представляется ядром

(см. вторую часть доказательства предложения (6.3.1)). Далее, след матрицы есть

и легко показать, что

где -некоторая константа, зависящая только от Поэтому норма Гильберта — Шмидта коммутатора (6.9.5) мажорируется

что и требуется.

При вложение не дает нам ничего нового, поскольку тогда пространство распадается на два независимых экземпляра пространства на которых используется стандартная поляризация и противоположная к ней. Отсюда следует, что ограничение центрального расширения группы на тривиально. Это верно и в общем случае.

Предложение (6.9.7). Центральное расширение группы тривиально над

Доказательство. Воспользуемся формулой (6.6.6) для вычисления коцикла на алгебре Ли. Предположим, что два элемента алгебры представляются матричнозначными функциями на Мы можем считать, что квадратично интегрируемы, поскольку значение коцикла не меняется при их замене на Тогда коцикл равен

Но это равно нулю, так как

что имеет след 0.

Перед упоминанием нашего последнего варианта в этом направлении следует отметить, что основное значение поляризации Дирака пространства относится не к построению представлений группы Более важно, что она приводит к новому представлению так называемых канонических коммутационных соотношений. Мы докажем здесь основной результат» но отложим обсуждение его значения до гл. 10.

Обозначим через оператор в задаваемый умножением на

где — гладкая функция, локально постоянная вне некоторого конечного интервала (но, быть может, принимающая различные значения при Коммутатор является оператором Гильберта — Шмидта (выше мы доказали это при но наше рассуждение проходит в общем случае). Таким образом, операторы образуют абелеву подалгебру в алгебре причем центральное расширение алгебры тривиально при ограничении на

Обозначим теперь через оператор в задаваемый умножением на

где — гладкая функция с компактным носителем. Коммутатор снова есть оператор Гильберта — Шмидта: его ядром является

где

и проходит по существу то же вычисление, что и раньше, за исключением того, что, так как разность — не равна тождественно нулю при то требуется, чтобы обращалась в нуль в (Оценка (6.9.6) заменяется оценкой

Операторы образуют абелеву подалгебру в причем ограничение на нее нашего центрального расширения тривиально.

Будем теперь представлять себе и как подалгебры в расширении и введем для каждой гладкой функции с компактным носителем обозначения

где Эти обозначения мотивированы тем, что

как операторы в Замечательным результатом является Предложение (6.9.9). Операторы из алгебры удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям, т. е.

и

Доказательство. Из формулы (6.6.6) для коцикла вытекает, что задается формулой

Но

обозначим последнее выражение через Поскольку при ясно, что

так что наш коммутатор равен

В заключение этого раздела рассмотрим еще одну последнюю подгруппу в Это группа гладких отображений с компактным носителем (т. е. при больших Определим ее действие на сопоставляя у оператор умножения

Из предшествующего обсуждения вытекает, что этот оператор лежит в и что индуцированное центральное расширение группы является основным (т. е. оно происходит из вложения

Обобщая, можно точно таким же образом вложить группу Значение этих вложений состоит в том, что, как показано в [24], при ограничение стандартного представления группы на подгруппу дает факторпредставление типа III (см. разд. 10.7).