4.5. Расслоения со слоем окружность, связности и кривизна

Главной целью этого раздела является доказательство предложения (4.4.2), но мы начнем с того, что соберем вместе требующиеся нам факты о расслоениях со слоем окружность, связностях и кривизне. Весь этот материал хорошо известен (см. [27], [68]), по крайней мере в конечномерном случае. В конце этого обзора мы дадим краткие доказательства существенных: пунктов.

Пусть - есть гладкое главное расслоение со слоем окружность, база X которого может быть бесконечномерным многообразием. Это означает, что группа Т свободно действует на У, орбиты совпадают со слоями и X есть пространство орбит Связностью в таком расслоении называется задание для всех точек разложения касательного пространства в прямую сумму

где касательное пространство к слою, («горизонтальные» касательные векторы) есть копия пространства! От разложения требуется инвариантность относительно действия группы Т на У.

Связность позволяет поднять путь в X до горизонтального пути в У с предписанной начальной точкой. Путь в У, получающийся поднятием замкнутого пути в X, вообще говоря, не будет замкнут. Промежуток между его концами соответствует элементу группы называемому голономией вдоль пути. Кривизна связности измеряет голономию вдоль бесконечно малых замкнутых путей: она есть замкнутая -форма на X, значение которой на паре касательных векторов в точке пространства X — это инфинитезимальная голономия вдоль параллелограмма, порожденного Кривизна определяет элемент группы когомологий зависящий лишь от топологического типа нашего расслоения. Более того, есть целочисленный класс (т. е. его интеграл по любому -циклу в X является целым числом), и он происходит из корректно определенного

элемента группы называемого (первым) классом Чженя расслоения. Топологический тип расслоения со слоем окружность полностью описывается классом Чженя, причем каждый элемент группы происходит из некоторого расслоения. Если X односвязно, то естественное отображение

инъективно и топологический тип полностью определяется классом формы . В общем случае ядро отображения соответствует плоским расслоениям, т. е. тем, которые могут быть снабжены связностью с кривизной нуль.

Есть три аналитических способа описания связности.

(i) Можно задать отображение сопоставляющее каждому векторному полю на X соответствующее горизонтальное Т-инвариантное векторное поле на . С этой точки зрения кривизна задается формулой

(правая часть этого равенства есть Т-инвариантное вертикальное векторное поле на У, но мы можем отождествить его с вещественнозначной функцией на X).

(ii) Можно задать Т-инвариантную -форму а на У, сопоставляющую каждому касательному вектору к У его вертикальную компоненту, т. е. вещественное число. Ограничение формы а на каждый слой есть стандартная -форма Производная -инвариантна и обращается в нуль на вертикальных векторах, так что для единственной замкнутой -формы со на X, которая и есть кривизна.

(iii) Можно ввести на локальные тривиализации, т. е. X покрывается открытыми множествами и часть , лежащая над отождествляется с Тогда связность в описывается -формой получаемой переносом описанной выше формы а с помощью любого сечения постоянного при локальной тривиализации Кривизна описывается формулой Если функции перехода нашего расслоения равны

(т. е. точка совпадает с точкой то

Это завершает наш обзор. Докажем теперь существенный результат.

Предложение (4.5.3). Пусть X — связное и односвязное многообразие.

(i) Любая замкнутая -форма со на X, такая, что представляет целочисленный класс когомологий, является кривизной некоторой связности на некотором расслоении над X со слоем окружность.

(ii) Если расслоения над X со слоем окружность, со связностями а и а, имеющими одинаковую кривизну , то имеется изоморфизм такой, что Более того, единствен с точностью до композиции с действием некоторого элемента группы

Доказательство, (i) Один из способов выразить условие целочисленности формы состоит в том, что имеется целочисленный коцикл Чеха определяемый по отношению к некоторому открытому покрытию пространства X, такой, что для некоторой -формы , где это -форма» получающаяся из с помощью гладкого разбиения единицы подчиненного покрытию (см. (3.1.1)) (таким образом, есть целое число, определенное, когда непусто, причем можно считать, что оно кососимметрично по отношению к перестановкам индексов

Построим расслоение У над X посредством функций перехода где

Согласованность функций вытекает из условия коцикла

Связность в этом расслоении определяется с помощью -форм

а ее кривизна есть -форма

Для получения связности с кривизной мы просто добавим -форму ко всем

Предположим, что определены с помощью функций перехода по отношению к одному и тому же открытому покрытию пространства Тогда отображение будет локально задаваться функциями такими, что

Условие выражается формулой

Можно считать, что все множества стягиваемы, а все пересечения связны. Тогда можно найти функцию такую, что Из (4.5.2) мы получим, что

на Иными словами,

где есть константа. Так как X односвязно есть 1 - коцикл Чеха), мы можем найти такие числа та, что Но тогда функции удовлетворяют и (4.5.4), и (4.5.5),

Что касается единственности или, эквивалентно, единственности функций то из (4.5.4) вытекает, что любые два возможных выбора отличаются умножением на глобальную функцию Но тогда равенства (4.5.5) показывают, что постоянна.

Доказательство (4.4.2). Теперь мы в состоянии очень просто доказать (4.4.2). Прежде всего, построим расслоение У над X со слоем окружность, имеющее связность а с кривизной Для каждого рассмотрим обратный образ расслоения У при отображении Получающееся расслоение имеет связность кривизной которой является Определим теперь как группу всех пар где есть изоморфизм, такой, что По предложению (4.5.3) для каждого у возможные выборы параметризуются окружностью. Изоморфизм можно также представлять себе как отображение накрывающее действие у на X и удовлетворяющее условию Иными словами, есть просто группа всех сохраняющих слои отображений сохраняющих и накрывающих некоторый элемент у группы Такое отображение полностью определяется по где произвольная отмеченная точка в У. Таким образом, как многообразие есть расслоенное произведение т. е. обратный образ расслоения У при отображении переводящем у в

Чтобы отождествить только что данное описание группы с описанием при помощи троек данным после формулировки (4.4.2), мы сопоставим тройке единственный автоморфизм пространства У, сохраняющий а и переводящий

в точку получаемую из параллельным переносом вдоль пути (мы предполагаем, что Мы оставляем читателю проверку того, что так получается групповой изоморфизм.

Предложение (4.4.2) доказывает половину утверждения Другая половина, утверждающая, что если коцикл на соответствует групповому расширению, то целочисленна, теперь совершенно очевидна, но мы переформулируем ее в следующем виде:

Предложение (4.5.6). Если расширение групп Ли

соответствует коциклу со на алгебре Ли группы то рассматриваемая как левоинвариантная 2-форма на представляет класс Чоювия, расслоения таким образом, целочисленна.

Доказательство. Утверждение сразу вытекает из первого метода описания связности. Для получения коцикла со мы должны выбрать разложение алгебры Ли группы (как векторного пространства)

Оно индуцирует разложение касательного пространства во всех точках группы т. е. связность в расслоении Расщепляющее отображение отождествляется с горизонтальным подъемом левоинвариантных векторных полей; поэтому по формуле (4.5.1) кривизна задается тем же выражением

что и коцикл на алгебре Ли.

Приведенное рассуждение позволяет также завершить два оставшиеся доказательства (утверждений (4.4.6) и отложенные в предыдущем разделе. Прежде всего, центральное расширение односвязной группы тривиально, если тривиально индуцированное расширение алгебр Ли. В самом деле, тогда у главного расслоения имеется плоская связность и мы можем определить отображение переводящее у в концевую точку горизонтального подъема любого пути в соединяющего единичный элемент с у. Это отображение является гомоморфизмом, поскольку связность -инвариантна. Это завершает доказательство (4.4.6).

Для завершения (4.4.1) (ii) мы должны показать, что два расширения и группы с помощью Т изоморфны, если совпадают соответствующие коциклы на алгебре Ли. Для этого образуем «разностное» расширение возьмем обратный образ над и перейдем к фактору по образу гомоморфизма переводящего и в Расширение алгебр Ли, соответствующее тривиально, так что и само тривиально, откуда