10. Приложение: теория представлений групп петель

В нашей работе мы не касались теории представлений группы в то время как в японских работах [5] эта теория положена в основу всех рассмотрений. Это различие скорее кажущееся, чем действительное, и мы это сейчас объясним. Мы лишь опишем ситуацию, опуская все обоснования, которые частично можно найти в [17, гл. 10, 12].

В этом параграфе будет удобно считать, что обозначает «гильбертов — шмидтов» грассманиан состоящий из замкнутых подпространств таких, что проекция — фредгольмов оператор, а проекция оператор Гильберта — Шмидта. Эквивалентно можно считать, что состоит из графиков всех операторов Гильберта — Шмидта Очевидно, что является гильбертовым многообразием. Мы будем обозначать через группу гладких петель.

Как мы видели (см. [17, раз д. 7.7]), центральное расширение группы с помощью действует на голоморфном линейном расслоении на Это означает, что проективно действует на пространстве голоморфных сечений расслоения с топологией равномерной сходимости на компактах превращается в топологическое векторное пространство. Это так называемое «базисное» неприводимое проективное представление группы

Для любого идексирующего множества «плюккерова координата» (введенная в § 8) является элементом из Мы обозначаем ее Фактически порождают в плотное подпространство; имеется естественное гильбертово пространство грубо говоря, это «квадратично интегрируемые» голоморфные сечения; образуют в нем ортонормированный базис. Подгруппа действует на проективными унитарными преобразованиями.

Геометрически важность пространства состоит в том, что имеется естественное антиголоморфное вложение

бесконечномерного комплексного многообразия в проективное пространство, связанное с Элементу из соответствует прямая в проходящая через сечение расслоения которое определяется соотношением

где допустимый базис в (Здесь обозначает матрицу, элемент которой равен мы считаем сечение эквивариантным отображением С.) Вложение эквивариантно относительно

Вектор в соответствующий со стандартным выбором базиса, т. е. каноническое сечение а расслоения Det (ср. § 3), называется вакуумным вектором

Если считать, что задано представление а не многообразие то рассуждения § 3 и 5 легко переводятся на новый язык. Основная формула, определение -функции, приобретает вид

где а допустимый базис в Это определение из работ [5], хотя их авторы, видимо, имели в виду группу полиномиальных петель, соответствующую нашему пространству .

Еще одна реализация связана с внешней алгеброй и «фермионными полями», действующими в

Фермионные поля — это операторнозначные распределения на окружности, удовлетворяющие антикоммутационным соотношениям

Отображение переводит

где

Весьма сингулярный «вертексный оператор» строится по действию на как предел при действия где а

Важную формулу (5.15) для единственного элемента из можно переписать в виде

Это эквивалентно (5.15), так как

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)