2.7. Неприводимые представления и антидоминантные веса
Каждое неприводимое представление компактной группы конечномерно. Если G действует на конечномерном комплексном: векторном пространстве У, то в У имеется базис 
в котором; действие максимального тора Т диагонально. Тогда тор действует на 
с помощью характера 
называемого весом вектора 
Множество весов есть конечное подмножество» в 
инвариантное относительно 
Если представление V неприводимо, то оно обладает единственным базисным вектором 
вес 
которого доминируете» остальными весами X - (говорят, что X доминирует если 
принимает положительные значения на положительной камере). Сопоставляя представлению V вес 
мы получим взаимно однозначное соответствие между классами эквивалентности неприводимых представлений группы G и множеством 
антидоминантных весов (вес называется антидоминантным, если X доминируется всеми 
для 
или, эквивалентным образом (из (2.6.1)), если 
для всех положительных корней а). Мы можем отождествить 
с множеством 
орбит группы 
на 
Лишь после значительных колебаний мы решились (имея в виду группы петель) описывать представления в терминах младших весов, а не старших, как это обычно принято. Это вынудило нас использовать непривлекательный компромиссный термин «антидоминантный». Разумеется, вес X антидоминантен тогда и только тогда, когда 
доминантен в обычным смысле.
Один из способов построения неприводимого представления по весу 
описан в разд. 2.9.
