4. Обобщенные уравнения КдФ и формальная функция Бейкера

n-я обобщенная иерархия КдФ состоит из всех эволюционных уравнений для неизвестных функций которые можно записать в виде где дифференциальный оператор -го порядка

другой дифференциальный оператор. (Как обычно, обозначает Допустимые операторы по существу определяются условием, чтобы имел порядок не более чем Эти операторы можно очень просто описать, если воспользоваться алгеброй формальных псевдодифференциальных операторов, которую мы обозначаем

Формальный псевдодифференциальный оператор — это по определению формальный ряд вида

для некоторого Предполагается, что коэффициенты лежат в некоторой алгебре гладких функций от х. Чтобы перемножить два таких оператора, необходимо знать, как перемножаются и функция соответствующая формула

легко следует из правила

определяющего умножение дифференциальных операторов. Нетрудно проверить, что является ассоциативной алгеброй.

Предложение (4.2). В алгебре оператор имеет единственный корень степени вида

Коэффициенты являются универсальными дифференциальными многочленами от если определить вес как то оказываются однородными веса

Доказательство. Приравнивая коэффициенты при степенях в уравнении мы получаем

где а — некоторый дифференциальный многочлен от (здесь мы считаем, что при Мы утверждаем, что если вес равен то однородны веса Считая: это утверждение справедливым, получаем что уравнения для имеют желаемый вид и однозначно разрешимы.

Легче всего убедиться в однородности следующим образом. Рассмотрим алгебру формальных псевдодифференциальных: операторов с коэффициентами — дифференциальными многочленами от (которые мы сейчас рассматриваем как абстрактные символы, а не как фиксированные функции от Назовем такой оператор однородным веса если коэффициент при однороден веса (так, имеет вес 1). Из однородности формулы (4.1) следует, что произведение двух однородных операторов с весами имеет вес Так как оператор однороден веса 1, то должен быть однороден веса

Пусть формальный псевдодифференциальныш оператор; мы будем обозначать символом «дифференциальную часть» оператора Таким образом,

Предложение (4.3). Уравнение

эквивалентно системе эволюционных уравнений

для коэффициентов оператора являются однородными дифференциальными многочленами от веса

Доказательство. Заметим сначала, что обозначает определяется как Единственная неочевидная часть предложения — почему коммутатор (4.4) является оператором порядка не более чем Но это непосредственно следует из тождества

(Конечно, коммутируют, являясь степенями

Уравнение (4.4) называется уравнением в иерархии Оно тривиально, если кратно так как в этом случае равно являясь целой степенью

Будем рассматривать уравнения (4.4) как потоки на некотором пространстве функций основной факт состоит в том, что эти потоки при разных коммутируют между собой. Чтобы придать смысл этому утверждению, надо определить некоторый класс функций, для которого можно было бы доказать теоремы существования и единственности для решений уравнений (4.4). Однако аналитические вопросы, которые здесь возникают, в некотором смысле несущественны: основное «инфи-нитезимальное» утверждение о коммутативности можно сформулировать чисто алгебраически. Мы отсылаем читателя к [22] за очень простым доказательством этого алгебраического варианта коммутативности. В настоящей работе мы не занимаемся подобными вопросами, так как для специального класса решений, который нас интересует, существование и коммутативность потоков ясны из построения.

Формальная функция Бейкера

Основная идея при изучении решений уравнения (4.4) состоит в следующем: поскольку меняется со временем, мы пытаемся проследить эволюцию собственных функций этого оператора, сравнивая их с собственными функциями постоянного оператора Для этого мы находим оператор К, такой, что тогда если собственная функция оператора то собственная функция оператора Один из способов реализовать эту идею связан с алгеброй

Предложение (4.5). Существует оператор вида

для которого Такой оператор К определяется однозначно с точностью до умножения справа на оператор вида с постоянными коэффициентами.

Доказательство. С коммутируют только операторы с постоянными коэффициентами, а потому утверждение о единственности тривиально. Для доказательства существования мы сравним коэффициенты при степенях в уравнении эта» дает уравнения вида где правая часть зависит лишь от при это позволяет последовательно решить уравнения. Предложение (4.5) можно переформулировать следующим образом:

Предложение (4.7). Уравнение имеет решение пространстве формальных рядов вида

Это решение единственно с точностью до умножения на ряд вида: с постоянными коэффициентами.

Ряд в (4.8) называется формальной функцией Бейкера для; Решения уравнений КдФ, которые мы собираемся строить, характеризуются тем свойством, что этот формальный ряд сходится для достаточно больших Как мы упоминали во введении, среди этих решений имеются алгебро-геометрические решения Кричевера ранга 1: в этом контексте существенно, что функция первоначально была введена Бейкером [3].

Интуитивная причина эквивалентности предложений (4.5) и (4.7) объяснялась ранее: поскольку мы ожидаем, что решения уравнения имеют вид где решение уравнения Если взять то формально ясно, что имеет вид (4.8). Мы можем сделать это рассуждение строгим следующим способом. Пусть пространство всех формальных выражений где формальный ряд

Дифференциальные операторы очевидным образом действуют? на М:

Определим действие полагая

где понимается как формальный ряд легко проверить, что превращается в модуль над алгеброй Если то

т. е. оказывается свободным -модулем ранга 1 с образующей

Уравнения КП

Нам часто будет удобно рассматривать иерархию КдФ (для любого ) как редукцию некоторой «универсальной иерархии эволюционных уравнений от бесконечного числа переменных; для краткости, мы, следуя [5], будем называть эти уравнения иерархией Кадомцева — Петвиашвили (КП). Уравнения КП определяются следующим образом. Пусть общий формальный псевдодифференциальный оператор первого порядка вида

(в общем случае такой оператор не является корнем степени из дифференциального оператора ни для какого

Предложение (4.10). Уравнение

эквивалентно системе эволюционных уравнений

для бесконечного числа функций Правые части этих уравнений являются однородными универсальными дифференциальными многочленами от веса если вес равен

Доказательство не отличается от доказательства предложения (4.3). Мы называем уравнением иерархии

Предложение (4.12). Отображение устанавливает взаимно однозначное соответствие между решениями иерархии КдФ и решениями иерархии КП, такими, что «дифференциальный оператор.

Доказательство. Очевидно, что если удовлетворяет (4.11), то удовлетворяет (4.4). Установить обратное утверждение лишь немногим труднее, мы отсылаем читателя к [22] за его доказательством.

Скейлинговые преобразования

Предложение (4.13). Пусть решение уравнения (4.11). Для любого ненулевого комплексного числа положим где коэффициенты равны

Тогда другое решение для (4.11).

Доказательство. Это тривиально следует из утверждения (4.10) об однородности

Мы называем оператор скейлинговым преобразованием решения иерархии Заметим, что каждая переменная умножается на степень X, соответствующую ее весу. Скейлинговые преобразования, очевидно, действуют и на решениях иерархии КдФ для любого

Замечание о литературе. Наше построение уравнения близко следует обзору [14]. Основная идея использовать дробные степени впервые появилась в 1976 г. в работе Гельфанда и Дикого [9], а затем широко использовалась в различных работах. эта идея приписывается Сато (1981 г.).