2.3. Компактные группы Ли

Самым важным фактом о компактных группах Ли является теорема Петера — Вейля, которая по существу утверждает, что каждая компактная группа Ли изоморфна подгруппе некоторой унитарной группы это очень легко выводится из наиболее фундаментального свойства компактных групп — существования меры Хаара, т. е. вероятностной меры на группе, инвариантной относительно левых и правых сдвигов.

Более очевидным приложением существования меры Хаара является следующий факт: если компактная группа G линейно действует в конечномерном векторном пространстве V, то всегда существует положительно определенное скалярное произведение на V, инвариантное относительно G (произвольное скалярное произведение на V можно сделать инвариантным, усреднив его по отношению к действию группы Из существования инвариантного скалярного произведения в свою очередь вытекает, что V есть ортогональная прямая сумма подпространств, на каждом из которых G действует неприводимо.

Применим предыдущее замечание к случаю, когда V есть алгебра Ли группы Ли Группа G действует на с помощью присоединенного представления-, присоединенное действие элемента определяется как производная отображения в единичном элементе Мы получаем, что

где действие G на каждом неприводимо. Очевидно, что все являются подалгебрами Ли, и если Если подгруппа в соответствующая алгебре Ли то G локально изоморфна произведению

Группы в произведение которых мы разложили очевидно, не имеют нетривиальных связных нормальных подгрупп. Такие группы, за исключением группы окружности обычно называют простыми группами, хотя эта терминология не идеальна, поскольку у этих групп могут быть конечные нормальные подгруппы (обязательно содержащиеся в центре). Таким образом, каждая компактная группа Ли локально изоморфна

произведению окружностей и простых групп. Если в этом разложении, отсутствуют окружности, то группа называется полупростой.

Все простые компактные группы классифицированы. Это специальные унитарные группы специальные ортогональные группы симплектические группы и пять исключительных групп, а также, разумеется, группы, локально изоморфные им. Традиционное обозначение для алгебр Ли: Исключительные группы обозначаются Во всех случаях индекс указывает ранг (см. разд. 2.4).

В гл. 4 нам понадобится следующий простой результат, доказательство которого удобно дать здесь.

Предложение (2.3.2). Если алгебра Ли компактной полупростой группы то любое -билинейное G-инвариантное отображение

обязательно симметрично.

Доказательство. Каждое такое отображение В можно эквивалентным образом представлять себе как -линейное отображение В из в двойственное пространство коммутирующее с действием группы

Сначала предположим, что группа G проста. Тогда пространство неприводимо как комплексное представление группы G поэтому по лемме Шура ([1, 3.22]) любые два выбора В отличаются только умножением на комплексное число. С другой стороны, поскольку обладает инвариантным скалярным произведением, имеется выбор В, соответствующий симметричному отображению В. Отсюда следует, что любой выбор В симметричен.,

В общем случае мы можем разложить как в (2.3.1). Очевидно, что все множители неизоморфны как представления, группы и это же верно для их комплексификаций. Поэтому по лемме Шура отображение

должно иметь вид где . В силу предшествующих рассуждений каждое должно быть симметрично, а значит, и В симметрично.