3.3. Группы диффеоморфизмов

Группа диффеоморфизмов окружности будет играть второстепенную роль в этой книге, но она является очень интересным примером бесконечномерной группы Ли.

Во-первых, заметим, что для каждого конечномерного компактного гладкого многообразия X группа всех гладких диффеоморфизмов есть группа Ли (см. [70], [115]). Ее алгебра Ли — это векторное пространство всех гладких векторных полей на X с обычной операцией скобки, а экспоненциальное отображение

сопоставляет векторному полю единственный порождаемый им поток. Для конечного однако, группа раз непрерывно дифференцируемых диффеоморфизмов, очевидно, не является группой Ли, так как левый сдвиг не есть дифференцируемое отображение (еще более очевидно, что скобка двух векторных полей класса принадлежит лишь классу

Хотя экспоненциальное отображение для и определено, оно совсем не похоже на локальный гомеоморфизм. Имеются сколь угодно близкие к единичному диффеоморфизмы, не лежащие ни в какой однопараметрической подгруппе, в то время как другие лежат во многих однопараметрических подгруппах. Следующее обсуждение основано на [120] (см. также [115]).

Предложение (3.3.1). Отображение не является ни локально взаимно однозначным, ни локально сюръективным.

Доказательство, (i) Рассмотрим поворот на угол Он принадлежит подгруппе Т всех поворотов в Централизатором элемента является подгруппа всех периодических диффеоморфизмов с периодом Поэтому лежит во всех однопараметрических подгруппах для Это показывает, что экспонента не является локально взаимно однозначной.

(ii) Существенное место в доказательстве того, что экспонента не является локально сюръективной, занимает тот факт, что любая однопараметрическая подгруппа в не имеющая неподвижных точек, сопряжена с подгруппой Принимая это на веру и замечая, что диффеоморфизм, сопряженный к повороту и отличный от тождественного, не имеет неподвижных точек, мы видим, что диффеоморфизм, удовлетворяющий следующим трем условиям, не может лежать ни в какой однопараметрической подгруппе:

(a) он не имеет неподвижных точек,

(b) у него есть точка конечного порядка и

(c) он сам не является элементом порядка

Имеется масса таких диффеоморфизмов причем сколь угодно близких к тождественному. Например, можно положить для и продолжить на остальную часть окружности совершенно произвольным образом, отличным По-другому, можно положить

где мало. Тогда но диффеоморфизм отличен от тождественного, поскольку его производная в нуле равна

Для доказательства того, что любая однопараметрическая подгруппа без неподвижных точек сопряжена подгруппе поворотов, достаточно заметить, что любое векторное поле нигде не обращающееся в нуль, переводится сопряжением в постоянное векторное поле. Сопрягающий диффеоморфизм дается формулой

где число выбрано так, что

Перед тем как оставить группы диффеоморфизмов, отметим другое их отличие от групп петель. Комплексификация алгебры Ли не соответствует никакой группе Ли. Интуитивно это неудивительно, поскольку комплексные векторные поля на порождают пути в пространстве отображений а они не образуют группу. Доказательство того, что нет группы Ли, соответствующей можно провести следующим образом.

Предложение (3.3.2). Любой гомоморфизм группы комплексную группу Ли тривиален.

Доказательство. Группа содержится в поскольку можно рассматривать как вещественную проективную прямую. Рассмотрим -листное накрывающее отображение заданное формулой Обозначим через группу диффеоморфизмов являющихся -листными накрывающими элементов таких что Легко видеть, что изоморфна -листной накрывающей группе для ее центр состоит из поворотов для Но мы отмечали в разд. 2.2, что любой гомоморфизм из в комплексную группу Ли должен пропускаться через или Поэтому ядро любого гомоморфизма из в комплексную группу должно содержать все повороты на углы с нечетным а значит, все вообще повороты. Так как это ядро является нормальной подгруппой, оно совпадает со всей группой в силу следующего результата.

Предложение (3.3.3). Группа проста.

Доказательство этого результата, принадлежащее Эрману [74], на удивление сложно, и мы его здесь не приводим.