9.3. Классификация и основные свойства представлений с положительной энергией

До конца этой главы мы принимаем соглашение, что «представление» означает гладкое представление с положительной энергией». Ограничение положительности энергии существенно для нашего подхода. Требование гладкости, т. е. плотности множества гладких векторов, является почти наверняка излишним, так как оно удовлетворяется автоматически, однако мы умеем доказать это только для с помощью непрямых рассуждений, которые кратко описаны в разд. 11.4.

Теперь мы приведем список наиболее важных свойств представлений. Доказательства в основном будут приведены в гл. 11.

Теорема (9.3.1). С точностью до существенной эквивалентности любое представление группы

(i) проективно,

(ii) вполне приводимо, т. е. является дискретеной прямой суммой неприводимых представлений,

(iii) унитарно,

(iv) продолжается до голоморфного проективного представления группы

(v) допускает (проективное) действие согласованное с действиями диффеоморфизмов на

Свойства хорошо известны как свойства представлений компактных групп, которыми не обладают представления некомпактной локально компактной группы, такой, как например. То, что они все же выполняются в нашей ситуации, в высшей степени замечательно.

Более явно, выражение «с точностью до существенной эквивалентности» означает следующее: утверждение (ii) состоит в том, что для любого представления имеется такой набор замкнутых неприводимых подпространств что естественное отображение

является инъективным и образ его плотен, (iii) означает, что в найдется плотное инвариантное подпространство, на котором имеется положительно определенная инвариантная эрмитова форма; более точная формулировка (iv) утверждает, что канонически располагается между голоморфными представлениями группы на антидвойственных пространствах:

В силу описание всех представлений с положительной энергией сводится к классификации неприводимых представлений. Эти представления параметризуются своими младшими весами так же, как и представления компактных групп. Фиксируем центральное расширение и пусть максимальный тор для (Здесь группа поворотов, максимальный тор в G и Т — ядро центрального расширения.) Любое представление группы можно с точностью до существенной эквивалентности разложить в сумму

это часть где действует характером Характеры, которые встречаются в этом разложении, называются весами представления Если неприводимо, то тор должен действовать умножением на скаляры (по лемме Шура), и значит, может встретиться лишь одно значение Оно называется уровнем представления. На веса любого представления, очевидно, действует нормализатор группы и, следовательно, аффинная группа Вейля (см. разд. 5.1). Мы

напомним, что является полупрямым произведением группы Вейля для G и решетки Из формулы (4.9.5) мы получаем, что элемент действует на вес следующим образом:

где определено с помощью скалярного произведения, по которому построено расширение образ при отображении определенном с помощью этого же скалярного произведения.

Разложение (9.3.2) является измельчением разложения относительно действия т. е. разложения по энергиям:

которое обсуждалось в разд. 9.2. Мы докажем

Предложение (9.3.4). Любое неприводимое представление является представлением конечного типа, т. е. любое конечномерно.

A fortiori любое весовое подпространство также конечномерно.

Напомним (см. разд. 5.1), что характеры а группы возникающие из разложения присоединенного представления группы называются корнями этой группы. Мы можем рассматривать их как характеры группы , тривиальные на . Как обычно, мы часто будем представлять себе корни и веса как линейные формы на алгебре Ли группы . Корень называется положительным или отрицательным в соответствии со своим значением на фиксированной «камере» в алгебре Ли группы Ли Мы напомним, что корни а имеют вид где является нулем или корнем группы Для любого корня для которого имеется кокорень а именно

где скалярное произведение то же, что использовалось в определении центрального расширения

Если G односвязна — замечание (vi) ниже, — то классификация неприводимых представлений такова:

Теорема (9.3.5). (i) Любое неприводимое представление содержит единственный вектор «младшего веса»

характеризующийся свойством, что не является весом этого представления ни для какого положительного корня а.

(ii) Младший вес к является антидоминантным, т. е. для любого положительного двойственного корня

(iii) Классы изоморфизма неприводимых представлений группы параметризуются в точности множеством антидоминантных весов.

Замечания, (i) Как уже упоминалось в разд. 2.7, мы работаем с антидоминантными весами вместо более традиционных доминантных весов, так как в наших представлениях имеются векторы младшего веса, а не старшего веса, как обычно.

(ii) Условие, что антидоминантен, можно явно записать как

для любого положительного корня а, где определено относительно скалярного произведения, определяющего расширение Так как порождают это показывает, что имеется лишь конечное число неприводимых представлений для фиксированного уровня. Отсюда также следует, что единственное представление с тривиально, т. е. что все представления группы являются проективными представлениями положительного уровня.

(iii) Условие, что антидоминантен, не содержит Однако неприводимые представления с антидоминантными весами эквивалентны как представления группы и отличаются умножением на характер окружности поворотов. Поэтому можно ограничиться антидоминантными весами вида .

(iv) Если и скалярное произведение положительно определено, то характеры такие, что - антидоминантный вес, образуют фундаментальную область для аффинного действия на при котором действует сдвигом на (Это можно вывести теми же рассуждениями, как и в где доказано, что камера является фундаментальной областью действия на t.)

(v) Если простая группа, то антидоминантные веса можно описать более явно. Условие (9.3.6) сводится к условию, что принадлежит части симплициального конуса доминантных весов (в обычном конечномерном смысле, см. разд. 2.7), лежащей над гиперплоскостью где старший корень. Фиксируем также скалярное произведение, как в разд. 4.4.

Тогда, написав

где — фундаментальные веса группы G (т. е. легко получить, что антидоминантные веса — это линейные комбинации целыми неотрицательными коэффициентами. Мы назовем фундаментальными весами группы

(vi) Требование односвязности группы G в теореме (9.3.5) не очень существенно. Теорема (9.3.5) и ее доказательство остаются справедливыми для связной компоненты, единицы в и обычно бывает несложно распространить представления на всю группу. В случае представления любого уровня все равно соответствуют орбитам группы в пример (ii) ниже. Как мы докажем в предложении (9.5.11), это остается верным и для случая, когда G является тором.

Примеры, (i) Если мы запишем характеры максимального тора в виде

где целые и мультииндекс определен с точностью до целого кратного мультииндекса

Мы получаем, что антидоминантный если и только если Фундаментальные веса — это антидоминантных весов уровня 1:

для , где

с нулями.

(ii) Если мы запишем характеры максимального тора так же, как для однако без неопределенности в мультииндексе Представления уровня связной компоненты единицы тоже соответствуют таким весам что и Но теперь стандартное скалярное произведение задает изоморфизм Из этого следует, что представления уровня параметризуются с помощью где симметрическая группа, или, другими словами, с помощью таких что

В частности, есть лишь одно представление уровня 1,

(iii) Возможно, в этом месте стоит дать явный пример множества всех весов какого-нибудь неприводимого представления группы петель. Для представления уровня веса лежат в гиперплоскости в Рассмотрим универсальное расширение для Тогда и соответствует характеру

Фундаментальные антидоминантные веса — это

и

Веса представления, соответствующего которое называется базисным, состоят из всех таких, что четно и

Рис. 3.

Представление, соответствующее ом, содержит все такие, что нечетно и Кратность веса т. е. размерность подпространства — это число разбиений для в случае базисного представления и для в случае

Обоснование этих утверждений появится позже, когда мы явно построим эти представления. Эти примеры типичны в следующем смысле: во всех случаях орбита вектора младшего веса

к под действием аффинной группы Вейля состоит из точек решетки на параболоиде

в гиперплоскости а оставшиеся веса лежат внутри параболоида, т. е. удовлетворяют условию

(Скалярное произведение в (9.3.7) и (9.3.8) индуцировано скалярным произведением из разд. 4.9.) Доказательство неравенства (9.3.8) очень просто. Можно считать, что антидоминантный вес, как и к, так как его можно сделать таким, действуя группой Вейля, которая не меняет Но тогда

ибо — антидоминантный вес, к равно сумме положительных корней (ср. (11.1.1)).

Базисное представление

Если скалярное произведение на задающее расширение положительно полуопределено, то вес ) является антидоминантным. Соответствующее неприводимое представление называется базисным представлением группы Это название реально подтверждается только в случае групп с простыми связями, для которых имеется

Предложение (9.3.9). Пусть односвязная группа с простыми связями, универсальное центральное расширение группы описанное в разд. 4.4. Пусть - базисное представление для Тогда

(i) неприводимые представления группы уровня один совпадают с сопряженными к представлению внешними автоморфизмами а группы ,

(ii) любое неприводимое представление группы G встречается в разложении на неприводимые компоненты некоторого представления вида где некоторый автоморфизм.

Замечания. (i) Мы напомним, что кроме автоморфизмов самой группы которые тривиально действуют на значит, на внешние автоморфизмы группы соответствуют элементам центра группы G (см. разд. 3.4). Для любого имеется автоморфизм группы полученный «сопряжением» с помощью пути в G из единицы в

(ii) Более точный вариант второго утверждения: любое неприводимое представление уровня является прямым слагаемым в где представление уровня 1, а индуцировано произвольным отображением -степени h.

Доказательство (9.3.9). (i) Неприводимые представления уровня 1 соответствуют (по замечанию (iv) после теоремы орбитам группы в решетке Т относительно действия, при котором подгруппа сдвигов в действует на Т в силу вложения которое задается каноническим скалярным произведением. Образ подгруппы это решетка корней, и потому можно отождествить с пространством 2, двойственным к центру G (см. разд. 2.4). Группа тривиально действует на и потому представления параметризуются с помощью Далее, содержится в центре группы следовательно, действует характером на любом неприводимом представлении этой группы. Мы показали, что неприводимое представление уровня единица, на котором действует заданным характером, существует и единственно. Тот факт, что внешние автоморфизмы группы транзитивно действуют на характерах группы был доказан в (4.6.5).

(ii) Рассмотрим вложение индуцированное отображением окружности Алгебра Ли подгруппы где порождена корневыми векторами в которые соответствуют отрицательным корням с я» делящимся на Для каждой петли ), принадлежащей решетке Т в имеется операция сопряжения с помощью

Если же рассматривать Т как подгруппу в как раньше, то мы можем считать элементы из Т путями в из единицы в точки из и определить таким способом автоморфизм для всех Этот автоморфизм переводит корневой вектор, соответствующий корню в корневой вектор, соответствующий корню и, следовательно, отображает если

для всех положительных корней а группы Если удовлетворяет этому условию, то все еще может оказаться, что не лежит в но так как нильпотентна, мы можем выбрать, элемент из конечной группы Вейля такой, что

Вектор младшего веса для базисного представления будет также вектором младшего веса и для Его вес в последнем представлении равен Для любого представления уровня младший вес имеет такой вид при некотором ), удовлетворяющем условию (9.3.10), — действие поворотов окружности не существенно — и это заканчивает доказательство.

Выпишем явно результат первой части изложенного доказательства.

Предложение (9.3.11). Если односвязная группа с простыми связями, то представления уровня 1 группы полностью характеризуются действием центра группы которое может задаваться произвольным характером.

Мы напомним (см. разд. 4.4), что следовательно, являются подгруппами в