Глава 10. Фундаментальное представление

Рассмотрим поляризованное гильбертово пространство Как мы видели в гл. 7, на голоморфном линейном расслоении Det на грассманиане действует центральное расширение группы расслоения Det нет ненулевых голоморфных сечений, а пространство голоморфных сечений двойственного расслоения Det (слой которого в точке двойствен слою расслоения бесконечномерно. Это пространство и есть фундаментальное представление группы Мы снабдим пространство топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах из оно становится полным локально выпуклым топологическим векторным пространством (ср. [75]), на котором непрерывно действует группа (Пространство в этой главе обозначает гильбертово многообразие, определенное в гл. 7; но фактически почти ничего не требуется менять, если рассматривать вместо него гладкий грассманиан.)

В этой главе мы дадим два разных явных описания пространства Первое — в виде пополнений внешней алгебры или «фермионного пространства Фока» на Второе описание — в виде суммы симметрических алгебр или «бозонных пространств Фока». Эти симметрические алгебры можно отождествить с классическим кольцом универсальных симметрических многочленов. Второе описание возникает из интерпретации как стандартного представления группы Гейзенберга Оно делает очевидным неприводимость Мы покажем также, что содержит в качестве плотного подпространства гильбертово пространство на котором унитарными операторами действует группа следует рассматривать как пространство квадратично интегрируемых голоморфных сечений расслоения

Det. (Термин «квадратично интегрируемые» был обоснован Пикреллем [122].)

Мы увидим, что является неприводимым представлением не только для но что оно остается неприводимым; представлением с положительной энергией и для всех групп петель . В разд. 10.6 мы опишем его разложение относительно действия

Представление описывается также как спинорное представление ограниченной ортогональной группы вещественного гильбертова пространства, в которое можно превратить Эта точка зрения будет объяснена в следующей главе.

В разд. 10.7 мы опишем, каким образом эквивалентность между бозонным и фермионным пространствами Фока проявляется в двумерной квантовой теории поля.