13.2. Действие ... на ...

Так как у группы имеется единственное неприводимое представление с коциклом (13.1.1), из результатов гл. 10 косвенно следует, что действие на можно продолжить до действия Было бы, конечно, интересно явно указать, как действуют элементы из Операторы, соответствующие блипам, построенные в предыдущем разделе, дают частичный ответ на этот вопрос, определяя представителей по крайней мере для некоторого класса элементов алгебры Ли группы

Группа содержит подгруппу всех обратимых операторов в вида где -оператор с гладким ядром,

для где гладкая функция на Алгебра Ли этой подгруппы состоит из всех операторов вида (13.2.1). Поставим в соответствие такому оператору К оператор в определенный формулой

Заметим, что — корректно определенный оператор в если первым выполняется интегрирование по Из коммутационных соотношений (13.1.13) мы получаем

и поэтому алгебра Ли действует на Нетрудно видеть, что, ограничиваясь унитарной подалгеброй, это действие можно экспоненцировать и получить действие подгруппы из

В формуле (13.2.2) можно было бы заменить на более общо, на

для любого Если мы проделаем это, то превратится в и ассоциированное действие группы умножится на характер

Мы знаем (ср. разд. 12.4), что действие на продолжается даже до действия ортогональной группы для которое рассматривается как вещественное векторное пространство. Элементы алгебры Ли этой группы с гладкими ядрами можно записать в виде

где мы требуем, чтобы

Если сопоставить оператор на определяемый формулой

то получим представление гладкой части алгебры Ли группы

Конструкции, которые мы описали, представляют ограниченный интерес, так как они применимы только к небольшим подгруппам в С другой стороны, общий оператор в можно записать в виде (13.2.1) с достаточно сингулярным ядром и во многих случаях можно придать смысл выражению (13.2.2) даже при сингулярном Рассмотрим, например, алгебру Ли самой группы которая задается обычными операторами

Ядро для , и действительно, на пиквикском (но наводящем на размышления) языке квантовой теории поля имеется

Предложение (13.2.3).

Здесь «нормально упорядоченное» произведение справа следует интерпретировать как предел выражения

где стремится к дельта-функции в , а -«вакуумное среднее» для которое равно

т. е. — это часть антикоммутатора

с положительной энергией. (В этом случае нормальное упорядочение обозначает, что мы вычитаем вакуумное среднее из а при определении мы делили на вакуумное среднее.) Формула (13.2.3) выглядит более удивительной, если мы вспомним, в тех же обозначениях

Для физика формула из предложения (13.2.3) весьма естественна и вызывает много ассоциаций. Действительно, локальная инфинитезимальная образующая «калибровочной группы» как это видно из коммутационных соотношений образующая, соответствующая «зарядовой плотности» фермионного поля. Поэтому предложение (13.2.3) утверждает, что зарядовая плотность генерирует калибровочные преобразования.

Доказательство (13.2.3). Справедлива формула

Поэтому

Все три предыдущих равенства имеют смысл и справедливы только после умножения на гладкую функцию и интегрирования по Когда все это проделано, все выражения оказываются операторами Но правая часть последнего равенства гладко зависит от и так как

при ее значение при равно

Умножая на интегрируя и устремляя к дельта-функции в точке мы получаем (13.2.3).

Можно было бы выписать формулы, аналогичные (13.2.3), для действия но похоже, что в этом нет особого смысла. Как правило, такие «явные» формулы в терминах ренормализованных комбинаций операторов поля включают столько интерпретаций, что они фактически не являются явными и не помогают понять природу операторов, существование которых следует из весьма простых общих соображений.