2.9. Теорема Бореля — Вейля

Важность комплексных однородных пространств группы G обусловлена их ролью в построении неприводимых представлений. Для этого на самом деле нужно лишь наибольшее из них Всякий гомоморфизм однозначно продолжается до голоморфного гомоморфизма Поэтому он определяет однородное голоморфное линейное расслоение на обозначает фактор-пространство пространства по отношению эквивалентности, отождествляющему для всех Группа действует на линейном расслоении а значит, действует на его голоморфных сечениях.

Теоремой Бореля-Вейля (см. Ботт [15]) называется

Теорема (2.9.1). (i) Линейное расслоение не имеет ненулевых голоморфных сечений, если X не является антидоминантным весом.

(ii) Если X — антидоминантный вес, то пространство голоморфных сечений расслоения есть неприводимое представление группы G с младшим весом

Возможно, стоит кратко объяснить, почему пространство голоморфных сечений расслоения есть неприводимое предоставление. Заметим сначала, что если разложено в сумму неприводимых представлений, то каждая компонента содержит элемент младшего веса. Далее, каждый элемент младшего веса инвариантен относительно подгруппы алгебра Ли которой натянута на векторы (поскольку действие такого на наш элемент дало бы элемент еще меньшего веса). Поэтому достаточно показать, что не может быть двух линейно независимых -инвариантных сечений. Но группа действует на базе с открытой плотной орбитой, а именно орбитой отмеченной точки. Поэтому, если бы были двумя -инвариантными сечениями, то их отношение должно было быть постоянным на открытой орбите, а значит, постоянным на всем

Следует также упомянуть взаимосвязь между голоморфными линейными расслоениями на многообразии X и голоморфными

отображениями из X в комплексное проективное пространство.

В одну сторону, пусть у нас есть голоморфное отображение где обозначает проективное пространство лучей в векторном пространстве Тогда можно определить голоморфное линейное расслоение на X, слоем которого над точкой х является прямая в пространстве Таким образом, есть подпространство в XXV, причем имеется отображение линейное на каждом слое. Значит, каждая линейная форма определяет при помощи композиции с сечение двойственного линейного расслоения слой которого над точкой х сопряжен к слою расслоения тем самым, у нас есть линейное отображение где обозначает пространство голоморфных сечений расслоения

В другую сторону, предположим, что линейное расслоение на X и что для каждой точки имеется сечение расслоения не обращающееся в нуль в точке х. Тогда имеется каноническое отображение где пространство сечений расслоения По определению есть отображение задаваемое вычислением сечений в точке для этого нужно выбрать отождествление слоя расслоения в точке но этот выбор влияет на лишь с точностью до умножения на элемент группы

В свете этой переформулировки доказательство второй части теоремы Бореля — Вейля почти очевидно. Чтобы доказать, что каждое неприводимое представление группы в пространстве V возникает как сечения линейного расслоения на достаточно показать, что имеется прямая в V, устойчивая относительно . В самом деле, рассматривая орбиту прямой мы получим эквивариантное отображение а значит, линейное расслоение и отображение Но каждый вектор старшего веса в V определяет прямую, устойчивую относительно

Пример. Как пример теоремы Бореля — Вейля рассмотрим неприводимое представление группы внешней степени

По-видимому, наиболее очевидным из всех голоморфных линейных расслоений является детерминантное расслоение Det на грассманиане -мерных подпространств конечномерного векторного пространства Это расслоение, слой которого над подпространством есть старшая внешняя степень него нет ненулевых голоморфных сечений, но двойственное

расслоение слой которого над есть сопряженная прямая обладает сечениями. Следующий известный факт будет играть решающую роль в гл. 10, поэтому мы приведем здесь его доказательство.

Предложение (2.9.2). Пространство голоморфных сечений расслоения на естественно изоморфно

Доказательство. Голоморфное сечение расслоения это то же самое, что голоморфное отображение линейное на каждом слое. Типичная точка расслоения Det может быть представлена в виде где базис в некотором Поэтому мы можем определить отображение

формулой

где есть определитель матрицы

Ясно, что отображение (2.9.3) инъективно. Для доказательства сюръективности обозначим через открытое подпространство в У, состоящее из наборов по линейно независимых векторов. Имеется естественное отображение Если есть сечение расслоения то мы должны установить, что композиция продолжается до полилинейного отображения Для доказательства рассмотрим как функцию от при фиксированных Получающаяся голоморфная функция определена на дополнении к подпространству в У и удовлетворяет условию для всех Подпространство имеет коразмерность больше 1 (поскольку мы можем считать, что значит, по теореме Хартогса продолжается до голоморфной функции на всем У. Мы можем теперь разложить в ряд Тейлора в начале координат и благодаря условию получим, что должна быть линейной функцией на У. Рассматривая таким же образом остальные переменные, мы покажем, что отображение полилинейно.