Глава 13. Блипы, или вертексные операторы

В гл. 10 мы видели, что неприводимое проективное представление группы может быть реализовано как пополненная внешняя алгебра . В этой главе мы получим ту же реализацию совершенно иным и более прямым способом. Идея состоит в том, что для проективного действия группы на подходящем гильбертовом пространстве можно определить сингулярный «блип», или вертексный оператор, для каждой точки 9 на окружности. Этот оператор получается «в пределе» из элемента группы который быстро обходит Т в инфинитезимальной окрестности точки и равен единице в остальных точках. Операторы антикоммутируют между собой. «Сглаживая» произведения (в смысле квантовой теории поля) и применяя их к вакуумному вектору в мы получаем отображение (Точнее, мы получаем действие бесконечной алгебры Клиффорда на

Идея получения фермионных операторов, таких, как из проективного представления коммутативной группы т. е. из бозонных полей, рассматривая представителей элементов, которые локализованы, но топологически нетривиальны, восходит, видимо, к работе Скирма [139] (ср. [44]), который назвал эти представители «kinks». Те операторы, которые мы будем рассматривать, были введены в «дуальной резонансной» теории [80] по совершенно иным, негеометрическим соображениям.

В теории представлений групп петель блипы используются и в несколько иных целях. Их можно использовать для построения представлений группы уровня 1 для любой группы G с простыми связями, что описано в разд. 13.3. Это приложение важно по крайней мере по двум причинам. Во-первых, конструкция представлений получается очень явной и проливает свет на их структуру, что позволяет, например, написать очень удобную формулу для их характеров, которая совершенно отличается от формулы Каца для характеров. Мы приведем обе формулы в разд. 14.3. Во-вторых, конструкция блипов естественна по отношению к диффеоморфизмам окружности и позволяет доказать, что любое представление группы петель с положительной

положительной энергией допускает согласованное действие Это рассуждение будет проведено в разд. 13.4.

В разд. 13.5 мы объясним связь между двумя различными типами блипов, которые используются в разд. 13.1 и 13.3.

13.1. Фермионные операторы на

Базисное центральное расширение группы определяется коциклом

где (см. разд. 4.7)

Здесь гладкие функции такие, что

и

где числа вращения для и обозначают средние значения для на т. е.

В этом разделе мы будем предполагать, что задано проективное унитарное представление группы с коциклом (13.1.1) на гильбертовом пространстве Мы будем предполагать, что это представление обладает положительной энергией в смысле разд. 9.2. Оператор, представляющий будет обозначаться

Наиболее важное свойство коцикла (13.1.1) для наших нынешних целей состоит в следующем. Мы будем говорить, двух элементов из носители не пересекаются, если для любого либо либо

Предложение (13.1.3). Если носители элементов не пересекаются, то

где числа вращения для

Это немедленно следует из формулы (13.1.2). Заметим, в частности, что антикоммутируют, если имеют числа вращения, равные ±1.

Коцикл (13.1.1) не инвариантен относительно поворотов окружности. Это отражает тот факт, что представитель для не может быть выбран эквивариантным относительно поворотов выбору (13.1.2) соответствует следующий закон преобразования:

где представляет поворот на угол а. В частности,

если число вращения для равно или 1.

Рассмотрим теперь последовательность элементов группы которые стремятся к блипу в точке Другими словами, число вращения каждого оператора равно единице и при и Кроме того, мы будем предполагать, что и функции равномерно ограничены на Мы увидим, что последовательность унитарных операторов стремится к нулю в том смысле, что для любых

Оператор это ренормализованный предел мы полагаем

где это «ширина» приближения которая будет определена ниже, а предел понимается как поточечный в пространстве операторов где (Мы напомним, что обозначает векторы с энергией и что обозначает векторы с конечной энергией, т. е. алгебраическую прямую сумму пространств Это определение требует некоторых комментариев.

Наша цель состоит в том, чтобы определить «операторно-значное распределение», т. е. мы хотим придать смысл

сглаженному оператору

а не самому оператору (Здесь гладкая вещественнозначная функция на Но даже потенциально неограниченный оператор и потому не везде определен. Мы построим таким образом, что его область определения всегда будет содержать пространство векторов с конечной энергией. Фактически для начала мы ограничимся определением если тригонометрический многочлен. Для этого достаточно определить операторы так, чтобы

и тогда сглаженный оператор будет отображать (Из (13.1.6) следует, что для оператор отображает в Мы увидим позднее (после предложения (13.1.13)), что можно определить для любой гладкой функции и что он ограничен.

Следующая задача — объяснить, что понимается под шириной аппроксимаций Запишем и разложим обычным образом:

где положительная и отрицательная части в разложении Фурье периодической функции Мы определим ширину следующим способом:

На языке квантовой теории поля [78] это означает, что оператор определяется ренормализацией с помощью нормального упорядочения, так как

Оператор называется нормальным упорядочением оператора и обычно обозначается через

Сейчас мы увидим причину называть «шириной» . В то же время мы приведем пример и предложение, которые поясняют такую терминологию.

Пример. Обычный подход к блипам использует специальное аппроксимирующее семейство заданное формулой

где Геометрически это угол в точке в окружности, определяемый точками (См. рис. 4.)

Интуитивно это, конечно, блип ширины около . С другой стороны,

и поэтому

Рис. 4.

Более убедительная причина считать шириной состоит в следующем. Пусть это последовательность в которая стремится к блипу в точке а в том смысле, который мы уже описали. Пусть диффеоморфизм окружности; тогда мы определяем как Ясно, что последовательность стремится к блипу в точке

Предложение (13.1.10).

Мы отложим доказательство этого результата, без которого пока можно обойтись, до конца раздела.

Сейчас наша задача — показать, что предел (13.1.5) существует. Для этого мы должны рассмотреть оператор

более внимательно. Во-первых, заметим, что лежат в а не в и потому операторы отображают не в а в большее пространство, скажем в (см. разд. 9.5). В таком пространстве операторов имеет смысл и справедливо равенство (13.1.9). Мы знаем также, что

когда вещественная функция, где линейно зависит от и может рассматриваться как оператор, действующий в или

как неограниченный оператор в Если f - (комплексный) тригонометрический многочлен, то а определен как оператор увеличивает энергию на Поэтому

где увеличивает энергию на и полиномиально зависит от коэффициентов Фурье функции для Это означает, что оператор отображает а отображает

Если теперь пробегает последовательность, стремящуюся к блипу в точке то сходится в -топологии к ступенчатой функции где

Разложение Фурье функции имеет вид

Поэтому коэффициент для стремится к в (13.1.11) стремится к корректно определенному оператору Это означает, что о множителях в правой части (13.1.9) можно сказать следующее: поточечно сходится как оператор как оператор Оставшийся множитель не причиняет хлопот. Он унитарен, сохраняет и при стремится к

Так заканчивается доказательство существования оператора Свойство эквивариантности (13.1.6) этого оператора непосредственно следует из (13.1.4).

Наряду с блипом имеется его формально сопряженный оператор Он равен пределу операторов и соответствует петле с числом вращения —1 в инфинитезимальной окрестности а. Основное свойство этих операторов — их антикоммутационные соотношения.

Предложение (13.1.13).

Конечно, эти соотношения следует понимать в смысле распределений. Эти выражения имеют смысл после сглаживания с помощью тригонометрического многочлена от Так, третье соотношение означает, что

для любых тригонометрических многочленов

Полагая в (13.1.14), мы получаем, что оператор ограничен и что где обозначает Из этого следует, что оператор в действительности отображает и что его можно определить для любой -функции .

Доказательство (13.1.13). Мы докажем третье соотношение. Два других доказываются аналогично, но проще. Итак,

и

Мы можем использовать любые удобные аппроксимации но разумно считать, что функция от функция от потому что тогда можно проделать сглаживание по до перехода к пределам Поэтому

где

Считается, что эти уравнения будут иметь смысл лишь после сглаживания по Однако произведение

в правой части формулы (13.1.15) стремится к пределу

который как оператор гладко зависит от и равен 1 при Для доказательства предложения (13.1.13)

осталось показать, что выражение в (13.1.15), которое является гладкой функцией от стремится к Пусть разложения Фурье функций равны

и

Тогда

и поэтому можно разложить по положительным степеням с коэффициентами, полиномиально зависящими от Так как и коэффициенты стремятся к 1 и коэффициенты стремятся к коэффициентам ряда

Рассматривая аналогичным образом вторую половину выражения мы получаем, что все выражение сходится покоэффициентно к

Это именно тот тип сходимости, который мы требовали для доказательства предложения (13.1.13), так как мы всегда используем сглаживание с помощью тригонометрических многочленов.

Кроме антикоммутационных соотношений и совместности с поворотами окружности (13.1.6) нам нужно знать, как операторы взаимодействуют с представлением группы с которого все началось.

Предложение (13.1.16). Для любого справедливы формулы

Замечание. Дифференцируя эти уравнения по мы получаем

где обозначает операторнозначное распределение, определенное формулой

Доказательство (13.1.16). Рассмотрим соотношение

Если гладкая функция и стремится к ступенчатой функции то

Сравнивая с определением получаем

Теперь мы проделали всю работу, необходимую, чтобы описать действие алгебры Клиффорда на Здесь — это обычное гильбертово пространство комплекснозначных -функций на и — оно же, но как вещественное векторное пространство. Для положим

Этот оператор вещественно-линейно зависит от Тогда соотношения из предложения (13.1.13) приобретают вид

Кбмплексификация обычным образом отождествляется (ср. (12.4.1)) с . Комплексная алгебра Клиффорда пространства действует на операторами

Она содержит внешние алгебры пространств в качестве подалгебр.

Из соотношения эквивариантности (13.1.6) следует, что оператор повышает энергию на если энергия равна Запишем теперь где как обычно, порождено функциями при Пусть — подпространство в состоящее из всех векторов, которые аннулируются всеми понижающими энергию операторами для для Это пространство ненулевое, поскольку содержит все векторы с минимальной энергией. Оно сохраняется комплексной алгеброй Клиффорда, порожденной операторами

которая изоморфна алгебре -матриц. Фактически мы можем написать

где собственное подпространство оператора который является идемпотентом, с собственным значением Векторы из аннулируются операторами для и операторами для

Выберем вектор такой, что и определим отображение

полагая

Простое вычисление с использованием коммутационных соотношений показывает, что это отображение сохраняет скалярные произведения. (См. разд. 10.2 по поводу определения скалярного произведения для Например,

Отсюда следует, что а продолжается до изометрического вложения гильбертова пополнения Но наши рассуждения доказывают больше. Если объединить отображения для то получается изометрия

Предложение (13.1.19). Отображение (13.1.18) продолжается до изометрического изоморфизма

(Здесь обозначает тензорное произведение гильбертовых пространств.)

Доказательство. Единственное, что следует показать, — это сюръективность этого отображения. Пусть его образ. Если то не равно нулю, а значит, содержит вектор минимальной энергии, ибо сохраняется под действием поворотов окружности. Такой вектор лежит в и, значит, в противоречие. (Заметим, что

Замечание. Из гл. 10 мы, конечно, знаем, что если неприводимо.

В заключение этого раздела мы снова вернемся к действию Изоморфизм между гейзенберговской и спинорной конструкциями базисного неприводимого представления группы найденный в гл. 10, должен по лемме Шура быть согласованным с действием диффеоморфизмов окружности. Явная конструкция из гл. 10 с этой точки зрения совершенно неестественна: в ней используется фиксированная параметризация окружности. Интересное свойство конструкции с использованием блипов состоит в том, что она ясно показывает природу гильбертова пространства по которому строится алгебра Клиффорда, действующая на : оказывается, это пространство полуплотностей на Действительно, оператор строился ренормализацией оператора который делился на квадратный корень из ширины а так как ведет себя как функция относительно диффеоморфизмов, преобразуется как полуплотность.

К сожалению, чтобы сделать предыдущие рассуждения абсолютно точными, требуются дополнительные рассуждения. Дело в том, что это оператор из а не действует ни на ни на Мы видели, что оператор можно определить для любой функции из и мы хотим показать, что для любого

где оператор, представляющий действие на (Как мы знаем из (9.5.14), группа проективно действует на любом представлении с положительной энергией: поэтому оператор определен с точностью до скалярного множителя.) Формула (13.1.21) следует из (13.1.10), если считать доказанным, что

для всех гладких функций на и для всех лежащих в некотором плотном -инвариантном подпространстве в где последовательность, стремящаяся к блипу в , а . Наше определение гарантирует, что равенство (13.1.22) справедливо, если тригонометрический многочлен, а вектор конечной энергии. Сейчас мы объясним, как можно избавиться от этих ограничений.

Пусть обозначает пространство распределений на вида для которых быстро убывают при Другими словами, где часть с положительной энергией

гладкая функция. Мы определим топологию на используя -топологию на и топологию распределений на

Лемма (13.1.23). Действие сохраняет

Доказательство. Пусть обозначает оператор проектирования Как мы видели в доказательстве (6.8.2), если диффеоморфизм, то оператор

имеет гладкое ядро, которое отображает распределения в гладкие функции. Фактически действие является гладким отображением.

Определение (13.1.24). Пусть обозначает подпространство векторов таких, что продолжается до голоморфного отображения

(Заметим, что определено, вообще говоря, лишь для гладких вещественных функций на

Лемма (13.1.23) показывает, что сохраняется под действием группы

Замечание. Определенное нами пространство содержится в подпространстве векторов которые являются гладкими относительно действия Возможно, эти два подпространства совпадают между собой и с подпространством векторов, гладких относительно действия Т на т. е. векторов таких, что быстро убывает. (Здесь это компонента энергии Но нам нет нужды решать все эти вопросы. В любом случае справедлива

Лемма (13.1.25).

Доказательство. Это следует из результата (9.5.15) о том, что векторы конечной энергии являются гладкими для вместе с наблюдением, что если то зависит лишь от конечного числа коэффициентов Фурье функции

Вопрос о поведении блипов при диффеоморфизмах обосновывает

Предложение (13.1.26). Соотношение (13.1.22) справедливо для всех и для всех гладких

Доказательство. Основной момент состоит в том, чтобы доказать существование предела левой части (13.1.22).

Последовательность в гильбертовом пространстве сходится, если сходится при . Поэтому достаточно показать, что

сходится как распределение по при Для доказательства этого мы используем рассуждение, подобное примененному при доказательстве предложения (13.1.13). Если записать то (13.1.27) можно переписать как

Здесь сходится как распределение к

а скалярное произведение сходится к гладкой функции от так как сходится к пределу в который гладко зависит от

Чтобы доказать (13.1.26), нам необходимо знать, что предел (13.1.27) не только существует, но и непрерывен по Но, согласно (13.1.13), этот предел мажорируется с помощью

Вернемся, наконец, к опущенному доказательству предложения (13.1.10).

Доказательство (13.1.10). Если то определяется как Если преобразование Гильберта то где Небольшое вычисление дает

Мы хотим доказать, что если -диффеоморфизм (мы считаем отображением таким, что то

при стремящемся к блипу в точке Из (13.1.28) мы получаем, что

где — гладкая функция на и что если стремится

к блипу в точке то в смысле распределений. Поэтому