Глава 6. Группы петель как группы операторов в гильбертовом пространстве

В этой главе мы изучим естественное вложение группы петель группы в ограниченную полную линейную группу гильбертова пространства. Это вложение будет играть фундаментальную роль на протяжении оставшейся части книги.

6.1. Петли как операторы умножения

Обозначим через гильбертово пространство квадратично интегрируемых функций на окружности со значениями в Группа непрерывных отображений действует на при помощи операторов умножения; для каждой матричнозначной функции у на окружности обозначим через соответствующий оператор умножения.

Норма оператора равна супремуму по Отсюда следует, что соответствие есть вложение банаховой группы Ли в качестве замкнутой подгруппы (с индуцированной топологией) в банахову группу Ли всех обратимых ограниченных операторов в снабженную топологией операторной нормы. Напомним, что есть открытое подмножество в банаховой алгебре всех ограниченных операторов в [34].

Все операторы коммутируют с оператором умножения на скалярнозначную функцию на окружности. В действительности группа близка к коммутанту оператора

Теорема (6.1.1). Коммутант оператора есть группа ограниченных измеримых отображений

Здесь ограниченность у означает, что ограничены вне множества меры нуль.

Доказательство. Пусть коммутирует с положим где есть базисный вектор пространства отождествляемый с соответствующей постоянной функции

функцией в Представляя себе как функцию, значения которой являются -компонентными векторами-столбцами, мы образуем из столбцов измеримую матричнозначную функцию Тогда самом деле, каждая функция может быть аппроксимирована элементами вид» где все многочлены от так как А коммутирует с то

Отсюда следует, что и что почти всюду ограничены.