7.6. Действие полугруппы ...

Окружность Т унитарно действует на поворотами причем это действие сохраняет поляризацию Это означает, что Т действует на пространстве Легко видеть, что неподвижные точки этого действия — это в точности подпространства при Будем обозначать через действие элемента

Отображение задающее это действие, непрерывно, но не дифференцируемо. В координатной карте действие преобразования на оператор умножает матричный элемент на Отсюда вытекает

Предложение (7.6.1). Т-орбита точки является гладкой гладко отображение тогда и только тогда, когда лежит в Эта орбита вещественно-аналитична тогда и только тогда, когда лежит в Кроме того, гладко действует на многообразии снабженном его собственной -топологией.

Описание в терминах координатных карт показывает, что. действие группы Т продолжается до действия

полугруппы ненулевых комплексных чисел, по модулю не превосходящих 1. Отображение (7.6.2) голоморфно на открытом множестве Если то отображает На подмногообразии действие группы; Т продолжается до голоморфного действия всей группы

Описанное действие полугруппы очень тесно связано стратификацией пространства

Предложение (7.6.3). (i) Страт состоит в точности из тех точек для которых стремится к при

(ii) Подпространство состоит в точности из тех точек. для которых стремится к при .

Если мы ограничимся вещественными значениями и, то ситуация, описанная в предложении (7.6.3), очень напоминает теорию Морса. Если бы траектории были градиентным потоком функции на то точки были бы критическими точками функции устойчивым и неустойчивым многообразиями в точке в смысле теории Морса [142]. Эта картина по существу верна; единственное уточнение состоит в том, что функция определена только на гладком грассманиане где траектории гладкие. Мы найдем функцию в разд. 7.8.

Предложение (7.6.3) сразу вытекает из поведения плюккеровых координат по отношению к Т-действию.

Предложение (7.6.4). Имеем

где X отлично от нуля и не зависит от Иными словами, плюккерово вложение

эквивариантно относительно где действует по формуле

Замечание. В следующем разделе это предложение будет перекрыто более точным результатом (7.7.5).

Доказательство. Если допустимый базис для то в качестве базиса для

Пo непрерывности наш результат достаточно доказать для некоторого плотного множества базисов Поэтому для компоненты виртуальной размерности нуль мы можем считать, что

Если и то Плюккерова координата есть определитель подматрицы в образованной строками А и столбцами В. Сопряжение с помощью умножает этот определитель Остальные связные компоненты рассматриваются аналогично.

Замечание. Стоит отметить, что если — гладкие и вещественно-аналитические векторы вв смысле теории представлений [153], т. е. векторы, Т-орбиты которых являются гладкими или вещественно-аналитическими, то