3.6. Максимальные абелевы подгруппы в LG

Мы покажем, что каждому классу сопряженности в группе Вейля группы G естественно соответствует класс сопряженности максимальных абелевых подгрупп в

Если А — произвольная абелева подгруппа в то для каждой точки окружности подгруппа в получаемая вычислением петель из А в точке , абелева, а значит, содержится в некотором максимальном торе в Таким образом, наиболее очевидная максимальная абелева подгруппа в есть где максимальный тор в Более общо, если X — отображение, гладким образом сопоставляющее каждой точке

окружности некоторый максимальный тор то подгруппа

является максимальной абелевой подгруппой. Поскольку все максимальные торы сопряжены, пространство максимальных, торов можно отождествить с где нормализатор фиксированного тора Таким образом, X есть гладкое отображение

Класс сопряженности подгруппы зависит только от гомотопического класса отображения Это легко вытекает из свойства накрывающей гомотопии для расслоения например, если X стягиваемо, то оно может быть поднято отображения и тогда и Фундаментальная группа пространства есть группа Вейля так как свободно действует на односвязном пространстве Множество мотопических классов отображений (без отмеченных: точек) есть, таким образом, множество классов сопряженности: в (см. [143, с. 494]), и мы будем рассматривать X как представитель такого класса. Каждый элемент с помощью сопряжения определяет автоморфизм тора и соответствующая подгруппа может быть описана следующим образом.

Предложение (3.6.1). Если X соответствует элементу то подгруппа изоморфна группе гладких отображений таких, что

Доказательство. Пусть представляется элементом а — элемент алгебры Ли группы такой, что Тогда мы можем взять

Если принадлежит подгруппе то отображение определенное формулой

удовлетворяет (3.6.2), и обратно.

Используя описание (3.6.1) подгруппы и рассматривав точную последовательность групп

где есть вычисление значения в точке легко доказать

Предложение (3.6.3). Группа связных компонент группы и ее фундаментальная группа являются коядром и ядром гомоморфизма

где это решетка а — действие элемента на

Помимо описанных нами максимальных абелевых подгрупп имеются и другие: например, если два различных максимальных тора в то подгруппа, состоящая из петель у, таких, что при при очевидно, максимальна. Кажется вероятным, однако, что подгруппами исчерпываются все максимальные абелевы подгруппы в группе вещественно-аналитических петель.

Во второй части этой книги значительную роль будет играть подгруппа соответствующая элементу Коксетера группы Вейля. Группа Вейля группы есть симметрическая группа переставляющая элементы диагональных матриц, из которых состоит максимальный тор Т в Элемент Коксетера — это циклическая перестановка

Предложение (3.6.4). Максимальная абелева подгруппа в соответствующая элементу Коксетера, изоморфна

Доказательство. Требуемое утверждение вытекает из (3.6.1). В самом деле, если до — элемент Коксетера и отображение удовлетворяет (3.6.2), то каждый диагональный элемент отображения есть периодическая функция с периодом и разные у; отличаются друг от друга только сдвигами на кратные

Мы опишем это вложение группы в в разд. 6.5 несколько другим способом. Его важность была впервые обнаружена Леповским и Вилсоном [102] (см. также [87]). Алгебру Ли подгруппы (а точнее, ее центральное расширение) иногда называют основной подалгеброй Гейзенберга алгебры

Замечание. Абелева подгруппа, соответствующая общему элементу до группы есть, как легко видеть, произведение нескольких экземпляров группы по одной для каждого цикла перестановки до.