Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
12.5. Базисное представление группы LO2
Группа петель действует ортогональными преобразованиями на вещественном гильбертовом пространстве -функций на окружности со значениями в Если обычный базис в то элементы и гкгт для образуют базис в определим комплексную структуру на записывая
порождено элементами для для Рассуждения из (6.3.1) доказывают
Предложение (12.5.1). Группы являются подгруппами в соответственно.
Спинорное представление можно поэтому ограничить и получить проективное представление на Мы будем называть его базисным представлением Оно ограничивается до базисного представления и потому неприводимо. Подгруппа также неприводимо действует на . У нее есть две связные компоненты, соответствующие элементам Связная компонента единицы действует на двумя неэквивалентными неприводимыми представлениями.
В разд. 6.4 и 8.8 мы упоминали теорему Ботта о периодичности, которая утверждает, что вложение индуцирует изоморфизм гомотопических групп до размерности Теми же рассуждениями можно доказать
Предложение (12.5.2). Вложение индуцирует изоморфизм гомотопических групп до размерности
Мы не будем здесь этого доказывать. Заметим, однако, что с учетом предложения (12.4.2) получается утверждение о том, что пространство гомотопически эквивалентно Оно является важной частью теоремы Ботта о периодичности для ортогональной группы; фактически ортогональная теорема о периодичности следует из этого утверждения и из унитарной теоремы о периодичности. [2].
действует ортогональными преобразованиями на вещественном гильбертовом пространстве 
-функций на окружности со значениями в 
Если 
обычный базис в 
то элементы 
и гкгт для 
образуют базис в 
определим комплексную структуру на 
записывая 
порождено элементами 
для 
для 
Рассуждения из (6.3.1) доказывают
являются подгруппами в 
соответственно.
можно поэтому ограничить и получить проективное представление 
на 
Мы будем называть его базисным представлением 
Оно ограничивается до базисного представления 
и потому неприводимо. Подгруппа 
также неприводимо действует на 
. У нее есть две связные компоненты, соответствующие элементам 
Связная компонента единицы действует на 
двумя неэквивалентными неприводимыми представлениями.
индуцирует изоморфизм гомотопических групп до размерности 
Теми же рассуждениями можно доказать
индуцирует изоморфизм гомотопических групп до размерности 
гомотопически эквивалентно 
Оно является важной частью теоремы Ботта о периодичности для ортогональной группы; фактически ортогональная теорема о периодичности следует из этого утверждения и из унитарной теоремы о периодичности. 
[2].