8.6. Грассманово описание для произвольной компактной группы Ли

Изучая для компактной полупростой группы можно считать центр этой группы тривиальным. Действительно, если группа накрытие то многообразие это объединение нескольких связных компонент пространства Если центр тривиален, то G является связной компонентой единицы в группе автоморфизмов своей алгебры Ли

Самое очевидное гильбертово пространство, на котором действует пространство Это, в сущности, присоединенное представление. Мы отождествим где размерность Таким образом, мы отождествляем с подгруппой группы с помощью присоединенного представления группы G на Пространство петель является подмногообразием в следовательно, может быть отождествлено с подмногообразием в

Определение (8.6.1). это подмногообразие в состоящее из подпространств таких, что

Здесь обозначает подпространство гладких функций из которое, как нам известно, плотно. Тот факт, что оно является алгеброй Ли, означает, что замкнуто относительно поточечного коммутатора -значных функций.

Теорема (8.6.2). Действие группы на сохраняет если центр G тривиален, соответствие определяет диффеоморфизм

Доказательство. Первое утверждение очевидно, так как любая группа действует на своей алгебре Ли автоморфизмами (алгебр Ли). (Условие (ii) возникает, как и в (8.5.1), из-за того, что присоединенное действие сохраняет форму Киллинга, так что лежит в ортогональной группе

Обратно, пусть удовлетворяет условиям определения (8.6.1). Из (ii) получаем Мы знаем, состоит из гладких функций. Для любой точки z на окружности отображение вычисления: сопоставляющее функции ее значение в точке z, является изоморфизмом не только линейных пространств, но и алгебр Ли. Оно коммутирует также с комплексным сопряжением. Если петля у определена формулой то она является петлей со значениями в группе автоморфизмов алгебры Ли Для группы с тривиальным центром это означает, что у принадлежит По уже знакомым соображениям

Как и в предыдущем разделе, из теоремы (8.6.2) можно получить, что умножение является диффеоморфизмом, а умножение диффеоморфизмом на плотное открытое подмножество связной компоненты единицы. Сейчас мы определим стратификацию и клеточное разбиение для по аналогии с теоремами, доказанными ранее для

Выберем максимальный тор и систему положительных корней. Тогда мы можем определить нильпотентные подгруппы в алгебры Ли которых порождены корневыми векторами из связанными с положительными (отрицательными) корнями. Мы определим также подгруппы состоит из петель таких, что Таким образом,

Сформулируем результат, который мы хотим доказать.

Теорема (8.6.3). (i) является объединением стратов которые занумерованы решеткой состоящей из гомоморфизмов

(ii) Страт является орбитой точки относительно действия и представляет собой локально замкнутое стягиваемое комплексное подмногообразие в конечной коразмерности диффеоморфное .

(iii) Орбита точки относительно действия является комплексной клеткой размерности которая диффеоморфна и трансверсально пересекается с в единственной точке .

(iv) Орбита точки относительно действия является открытым подмножеством в Умножение задает диффеоморфизм

Объединение клеток совпадает с

Вновь стратификация подмножества оказывается индуцированной стратификацией грассманиана Для определения последней мы должны выбрать ортонормированный базис занумерованный целыми числами. Мы сделаем это таким образом, чтобы подпространство оказалось порожденным множеством при и чтобы Отсюда что базис для Мы выберем его так, чтобы он состоял из собственных векторов относительно действия группы Каждый вектор (для является весовым относительно действия Т: это корневой вектор группы G или вектор веса нуль. Мы выберем нумерацию для так, чтобы вектор предшествовал вектору всякий раз, когда разность между весом вектора и весом вектора является суммой положительных корней. В частности, набор где ранг группы состоит из всех отрицательных корневых векторов и порождает алгебру Ли порождает алгебру Ли

В базисе группа действует на нижними треугольными матрицами из подгруппы см. (7.3.3).

Страты и клетки для нумеруются подмножествами множества Среди них встречаются множества соответствующие решетке Т гомоморфизмов эти множества определяются соотношением

Мы будем писать вместо В нашем доказательстве теоремы (8.6.3) используется следующая

Лемма (8.6.4). Страты и клетки для пересекающиеся с совпадают с для

Мы отложим доказательство этой леммы до конца раздела, а. сейчас займемся доказательством теоремы (8.6.3).

Доказательство теоремы (8.6.3). Положим

Лемма (8.6.4) показывает, что является объединением стратов Так как лежит в ясно, что орбита точки относительно лежит в Поэтому основное — это доказать, что транзитивно действует на 2. Из предложения (8.4.1) мы знаем, что любое единственным образом представляется в виде где у принадлежит Так как -является пересечением достаточно показать, что у принадлежит Конструкция у из (8.4.1) может быть сформулирована следующим образом. Если лежит в размерность равна и отображение вычисления является изоморфизмом для любой точки Ортогональная проекция также является изоморфизмом. Само разлагается в композицию

Каждое из трех встречающихся здесь линейных пространств является алгеброй Ли для заметим, что Более того, каждое отображение является гомоморфизмом алгебр Ли, ибо отображение индуцировано проекцией на идеал в Итак, гомоморфизм алгебр Ли и, следовательно, лежит в как и хотелось.

Остаток доказательства повторяет аналогичные рассуждения для и мы не будем останавливаться на нем подробнее.

Орбиты действия на получаются, как раньше, объединением которые нумеруются классами сопряженности гомоморфизмов или, эквивалентно, множеством орбит группы Вейля группы

ствующей на решетке Это множество можно упорядочить по правилу: если выпуклая оболочка орбиты содержится в выпуклой оболочке орбиты . (Здесь Т рассматривается как решетка в векторном пространстве ) Не продолжая обсуждения, мы сформулируем

Предложение (8.6.5). (i) трансверсально пересекает по множеству состоящему из гомоморфизмов которые сопряжены к А.

Так как имеется клеточное разбиение множества на клетки четной размерности, фундаментальная группа должна быть тривиальной. Теперь рассмотрим как пространство полиномиальных петель Фундаментальная группа пространства равна второй гомотопической группе Если мы покажем, что пространство гомотопически эквивалентно то получим доказательство хорошо известного, но важного факта: равна нулю для любой компактной группы Ли По существу это доказательство совпадает с доказательством Ботта, основанным на теории Морса [14].

Предложение (8.6.6). Включение или, эквивалентно, является гомотопической эквивалентностью.

Следствие (8.6.7). Гомотопическая группа равна нулю.

Доказательство (8.6.6). Идея доказательства состоит в том, обладают согласованными стратификациями с помощью гомотопически эквивалентных подмножеств.

Расположим элементы решетки Т в виде последовательности, начинающейся с нуля, так, чтобы А, предшествовало если содержится в замыкании страта (мы будем выражать это формулой . Пусть обозначает объединение всех открытых множеств для которых объединение таких, что Мы будем писать также для соответствующих частей множества Нам достаточно показать, что является гомотопической эквивалентностью для всех А (ср. [114, приложение]).

Итак, — это объединение и а пересечение этих множеств равно . (Тот факт, что все точки лежат в стратах следует из аналогичного факта для

доказанного в (7.3.3).) Множество стягиваемо, a диффеоморфно и, следовательно, гомотопически эквивалентно

Аналогично, пространство является объединением множеств пересечение которых равно то время как диффеоморфно множество гомеоморфно мы не знаем, является ли многообразием и, следовательно, гомеоморф но Далее, и стягиваемы по тем же причинам, что и а пространство о гомотопически эквивалентно пространству По индукции мы можем получить, что пространство гомотопически эквивалентно (Мы использовали следующий факт: если где открытые подмножества, и отображение индуцирует гомотопические эквивалентности и то оно является гомотопической эквивалентностью.

Доказательство (8.6.4). Мы закончим этот раздел отложенным доказательством леммы (8.6.4).

Определим действие окружности Т на следующим образом. Выберем некоторый гомоморфизм что рлежит в положительной камере Вейля в т. е. для любого корня а. Для любого достаточно большого целого совпадает с централизатором элемента Действие которое мы хотим определить, получается одновременным, вращением со скоростью и сопряжением с помощью

при этом переходит в где

Это действие распространяется на все гильбертово пространство и диагонально в базисе . А именно, где числа монотонно возрастают с ростом для достаточно больших Далее, Т действует и на и это действие распространяется до действия (см. разд. 7.6). Кроме того, это действие сохраняет подмногообразие а также страты Для любого точка стремится к некоторому пределу при этот предел, очевидно, является неподвижной точкой относительно действия Т и содержится в том же страте, что и (Это происходит потому, что страты характеризуются предложением (7.5.4), просто умножает плюккерову координату на где монотонно возрастает с ростом

стремится к при Однако неподвижные точки действия Т на это только под пространства для . В самом деле, если подпространство неподвижно для некоторого то

для всех Положив мы обнаружим, что коммутирует с так что лежит в Равенство (8.6.8) сводится теперь к условию, что отображение является гомоморфизмом. Итак, любой страт содержит точку а значит, имеет вид

Рассуждения для клеток по существу такие же: рассматривается при и