4.9. Скалярное произведение на ...
Невырожденная инвариантная билинейная форма 
индуцирует такую же форму на 
по формуле
Однако на расширенной алгебре 
(по крайней мере, когда 
полупроста) не может быть невырожденной инвариантной формы, поскольку 
а центр алгебры Ли ортогонален ее коммутанту относительно любой инвариантной формы. Ввиду этого часто оказывается полезным замечание, что алгебра Ли полупрямого произведения 
(где 
группа поворотов окружности 
естественно действующая на 
обладает канонической невырожденной инвариантной билинейной формой всякий раз, когда форма 
определяющая расширение 
невырожденна.
Если отождествить алгебру Ли 
как в разд. 4.2, а алгебру Ли группы Т отождествить с 
посредством 
то алгебра Ли группы 
есть 
со скобкой, задаваемой формулой
Здесь 
из (4.9.1), т. е. это коцикл 
Определим билинейную форму на этой алгебре формулой
Эта форма, очевидно, инвариантна относительно присоединенного действия алгебры Ли на себе, а значит, и относительно присоединенного действия компоненты единицы группы 
Отсюда вытекает очень полезное вычислительное следствие, которое нельзя столь же просто получить другими средствами.
Предложение (4.9.4). Если у лежит в компоненте единицы группы 
то присоединенное действие элемента у на 
задается формулой
Доказательство. Из предложения (4.3.2) мы знаем, что эта формула справедлива для 
Нам также заранее известно, что правая часть должна иметь вид 
Но тогда легко
видеть, что приведенная формула — единственная возможная формула, сохраняющая билинейную форму (4.9.3).
На практике мы часто более заинтересованы в коприсоединенном действии элемента у на двойственном пространстве
Важнее всего случай, когда 7 есть гомоморфизм 
определяемый посредством элемента 
представляющего элемент подгруппы сдвигов в аффинной группе Вейля.
Предложение (4.9.5). Элемент 
действует на 
по формуле
где мы отождествили 
с помощью скалярного произведения.
Замечание. Если у не лежит в компоненте единицы группы 
то, как мы видели в разд. 4.7, его действие на 
допускает произвол. В этом случае действие не обязательно сохраняет скалярное произведение. Так, для 
если очевидным образом отождествить 
то формула, соответствующая (4.9.5), имеет вид
это не ортогональное преобразование. Доказательство (4.9.6) будет дано ниже в предложении (6.8.7).
