6.7. Центральное расширение группы ...

Рассмотрим обратный образ расширения под действием гомоморфизма Мы получим центральное расширение группы с помощью Оно является комплексной группой Ли, поскольку гомоморфизм голоморфен. Подгруппа отображается в унитарную группу так что обратный образ расширения группы помощью Т есть расширение группы с помощью очевидно, что комплексификация группы

Предложение (6.7.1). Расширение группы индуцированное расширением есть основное расширение, построенное в разд. 4.7.

Доказательство. В разд. 4.7 мы показали, что основное расширение группы характеризуется своим коциклом на алгебре Ли. Вычислим коцикл на алгебре Ли для расширения

Пусть элементы алгебры Ли операторы на соответствующие и Ввиду (6.6.5) мы должны показать, что

где

а стандартное скалярное произведение на задаваемое формулой (

По линейности мы можем считать, что Если то левая часть (6.7.2) равна нулю, так как у матриц нет ненулевых

диагональных элементов; имеем также С другой стороны, при оба оператора сохраняют каждое из подпространств суммой которых является пространство Если то совпадают на Если же то действует на как

— как Таким образом, левая часть (6.7.2) равна т. е. Правая часть равна тому же.

Замечание. Хотя для доказательства предложения (6.7.1) это не нужно, поучительно использовать замечание (6.6.3) для явного вычисления действия петли у с числом вращения сопряжением на центре компоненты единицы группы Центр группы канонически изоморфен где первый сомножитель это скалярные матрицы в а второй сомножитель Т принадлежит расширению. Элемент и первого Т может быть представлен элементом Мы можем считать, что оператор отображает в свое подпространство коразмерности Тогда автоморфизм группы соответствующий переводит в где есть умножение на и на подпространстве и тождественный оператор на -мерном пространстве Поэтому что и требуется.

Теперь мы в состоянии доказать, что все расширения

рассмотренные в гл. 4, обладают комплексификациями

Достаточно рассмотреть случай, когда группа G односвязна и проста. Если выбрать унитарное представление группы то, беря обратный образ найденного выше расширения группы мы получим расширение соответствующее форме следа представления на

Но каждая целочисленная инвариантная форма на есть целочисленное кратное основной формы (см. разд. 4.4). Расширение соответствующее форме может быть построено как односвязная накрывающая группа группы группы, соответствующие другим формам, являются факторгруппами группы по конечным подгруппам из ее центра.