14.6. Приложения резольвенты: когомологии Lg

Модуль Верма для - это свободный модуль над обертывающей алгеброй алгебры Ли Это позволяет нам использовать БГГ-резольвенту для вычисления когомологий алгебры Ли с коэффициентами в любом представлении группы с положительной энергией. Здесь когомологии определяются с помощью комплекса непрерывных коцепей на алгебре Ли. Заметим, что тор в естественно действует на

Предложение (14.6.1). Если неприводимое представление группы с младшим весом то

как представления группы

Доказательство. Коцепной комплекс, определяющий когомологии, состоит из векторных пространств положительной энергии конечного типа; поэтому мы можем рассматривать каждый уровень энергии в отдельности и можем доказывать антидвойственный результат

Группы гомологий можно вычислять с помощью цепного комплекса где любая резольвента представления состоящая из свободных -модулей, например БГГ-резольлента

Но а дифференциалы в равны нулю в силу -инвариантности.

Замечание. Мы получили предложение (14.6.1) из БГГ-резольвенты; но все, что требуется от резольвенты (14.6.2), — это поведение относительно и относительно Для этого достаточно знать, что имеется резольвента С., такая, что лежит в классе Т и обладает композиционным рядом для которого факторы являются модулями Верма Другими словами, нам достаточна слабой БГГ-резольвенты, описанной в начале разд. 14.5.

Предложение (14.6.1) — это ключевой шаг в вычислении когомологий алгебры Ли Эти когомологии отображаются в когомологии топологического пространства и мы хотели бы доказать, что справедлива следующая

Теорема (14.6.3). Естественное отображение

является изоморфизмом.

Мы уже доказали в разд. 4.11, что это отображение сюръективно.

Фактически достаточно доказать

Предложение (14.6.4). Естественное отображение

является изоморфизмом.

Здесь относительные когомологии вычисляются с помощью комплекса -инвариантных дифференциальных форм на однородном пространстве (Формальное определение можно найти в [94] или За доказательством того, что из предложения (14.6.4) вытекает теорема (14.6.3), которое зависит лишь от того факта, что группа Т компактна и связна, мы отсылаем читателя к [94, 15.3]. Когомологии пространства конечно, известны из его явной стратификации и клеточного разложения. Они равны нулю в нечетных размерностях, и в размерности являются свободной абелевой группой, порожденной стратами коразмерности которые соответствуют элементам длины в группе Вейля.

Чтобы доказать (14.6.4), мы сначала комплексифицируем это равенство и заметим, что (Последняя группа определяется с помощью непрерывных

колтлексно-мультилинейных коцепей). Затем мы выписываем для слабую БГГ-резольвенту где Эта резольвента является разложимой точной последовательностью топологических векторных пространств (так как голоморфно стягиваемо), а поэтому двойной комплекс

коцепей для с коэффициентами в точен по -направлению. Отсюда получается спектральная последовательность с

которая сходится к Теперь с учетом предложения (14.6.1) осталось доказать, что справедлива

Лемма (14.6.5). Группа равна при а размерность равна числу элементов длины в

Использование леммы (14.6.5) завершает доказательство предложения (14.6.4). Так как спектральная последовательность вырождается, то

Поэтому размерности групп равны, а значит, и группы изоморфны. (Из разд. 4.11 мы знаем, что отображение между ними сюръективно.)

Доказательство (14.6.5). Композиционный ряд -модуля имеет конечную длину, факторы этого ряда антидвойственны к модулям Верма где пробегает элементы длины Поэтому достаточно показать, что при и что размерность этой группы равна 1 при Но поскольку «индуцировано» из представления для мы докажем, что

Последняя группа (по определению) — это -инвариантная часть в которая, согласно предложению (14.6.1), или, точнее, согласно комплексно сопряженному к равенству из предложения (14.6.1) равенству, имеет размерность 1 или в зависимости от того, равны или нет.

Изоморфизм (14.6.6) является с чисто алгебраической точки зрения формальной тривиальностью (ср. [25, гл. XIII, 4.2.2а]).

В нашей ситуации, где это пространство голоморфных сечений линейного расслоения на этот изоморфизм можно обосновать следующим образом. Пусть О — прообраз тогда и мы можем отождествить с пространством голоморфных отображений удовлетворяющих условию для Поэтому коцепной комплекс для это в точности -инвариантная часть голоморфного комплекса де Рама для с коэффициентами в Но -эквивариантно голоморфно стягивается к а -инвариантная часть последнего комплекса — это и есть комплекс, определяющий

Когомологии голоморфных линейных расслоений на Y

В конечномерном случае мы можем вычислить прямо из аналога предложения (14.6.1), т. е. из равенства

Это последнее из четырех доказательств основной теоремы об обращении в нуль, которую мы упоминали в разд. 14.2. Стоит кратко напомнить эти рассуждения.

Группы можно вычислить с помощью (комплекса где обозначает гладкие формы типа на с коэффициентами в Мы можем разложить по неприводимым представлениям компактной группы

где есть G-инвариантная часть . Соответственно

Но

и поэтому это -весовое подпространство действия Т на По (14.6.7) оно равно нулю, если А, не равно для некоторого длины в противном случае

это пространство одномерно. В частности, при и антидоминантном весе

В сущности, причина того, что мы не можем вычислять в случае групп петель с помощью предложения (14.6.1), состоит в том, что -комплекс для не состоит из пространств положительной энергии. Мы, однако, можем обратить рассуждения и получить другой результат.

Для любой группы Ли любого представления группы можно определить «гладкие коцепные» когомологии как когомологии комплекса гладких коцепей Эйленберга — Маклейна для с коэффициентами в (ср. [77], Тогда -это группа классов гладких скрещенных гомоморфизмов классифицирует расширения групп Ли

Удивительное свойство компактных групп, которое не верно для некомпактных полупростых групп, для например, состоит в том, что для любого представления группы G и при . В сущности, это связано с тем, что имеется операция усреднения по возможность усреднения влечет за собой точность функтора взятия неподвижных точек а это эквивалентно обращению в нуль когомологий. Еще один аспект удивительного сходства между компактными группами и группами петель — это

Теорема (14.6.9). Если представление группы обладает положительной энергией, то

при

Доказательство. Мы можем предполагать, что где X — антидоминантный вес. Сначала мы приведем эвристические аргументы в пользу справедливости нашей теоремы, предполагая, что для справедлива -лемма и что при Тогда -комплекс

является резольвентой. С другой стороны, при Это так, потому что есть -инвариантная часть, а значит, прямое слагаемое в векторном пространстве гладких отображений а для такого индуцированного

модуля» по элементарным формальным причинам [77] имеет место равенство при Значит, объекты в резольвенте (14.6.10) ацикличны относительно и когомологии это когомологии -инвариантной части Как и в (14.6.8), мы получаем, что это -весовая часть действия Т на или, эквивалентно, -весовое пространство в При оно равно нулю по (14.6.1).

Предыдущие рассуждения являются лишь эвристическими. Настоящее доказательство можно провести совершенно иными путями, используя спектральную последовательность ван Эста [149], [13]. Мы приведем только его набросок.

Предложение (14.6.11). Для любого представления группы имеется спектральная последовательность с

которая сходится к непрерывным когомологиям алгебры Ли Здесь обозначает когомологии комплекса де Рама гладких форм на с коэффициентами в

Перед тем как доказывать существование такой спектральной последовательности, отметим, как она позволяет доказать теорему (14.6.9). Пусть тривиальное представление С. Тогда крайний вертикальный гомоморфизм в спектральной последовательности — это отображение

которое возникает, если рассматривать коцепи на алгебре Ли как левоинвариантные формы на Теория спектральных последовательностей показывает, что (14.6.12) является изоморфизмом, если и только если при Но мы уже знаем, что (14.6.12) — изоморфизм; поэтому теорема (14.6.9) справедлива при

С другой стороны, если нетривиальное неприводимое представление с положительной энергией, то когомологии равны нулю по элементарным причинам, так как действие центра группы на должно давать тождественное отображение когомологий, а с другой стороны, центр действует на нетривиальным характером.

Доказательство предложения (14.6.11). Наша спектральная последовательность возникает из двойного комплекса где

обозначает гладкие -коцепи на со значениями в пространстве -значных -форм на Поскольку при (по тем же причинам, что объяснялись выше для когомологии тотального комплекса совпадают с когомологиями -инвариантной части т. е. равны . С другой стороны,

Это так, ибо комплекс де Рама разложим, т. е.

(Это верно для комплекса де Рама любого многообразия с конечно порожденными группами когомологий Доказательство закончено.