12.4. Бесконечномерное спинорное представление

Конструкция спинорного представления в разд. 12.2 была оформлена таким образом, чтобы ее без существенных изменений можно было провести для ограниченной ортогональной

группы бесконечномерного гильбертова пространства. Нам необходимо сделать чуть больше, чем дать подходящие определения: мы не будем доказывать те факты об ортогональной группе, которые в точности параллельны фактам об унитарной группе, обсуждавшимся в гл. 6.

В этом разделе — вещественное гильбертово пространство с комплексификацией Эрмитово скалярное произведение в Не обозначается Комплексная ортогональная группа — это группа обратимых -линейных отображений которые сохраняют билинейную форму В, определенную соотношением

эта группа содержит также обычную ортогональную группу Мы предполагаем, что на зафиксирована некоторая комплексная структура и потому для некоторого изотропного пространства Ограниченная ортогональная группа определяется как подгруппа в О (Не), состоящая из элементов А, таких, что является оператором Гильберта — Шмидта, т. е. имеющих вид

относительно разложения где операторы и с — операторы Гильберта — Шмидта. Другими словами, Аналогично мы определим как

Мы снабдим топологией, индуцированной из

Спинорное представление — это проективное унитарное представление на гильбертовом пополнении внешней алгебры . В гл. 10 мы построили неприводимое представление ограниченной унитарной группы комплексного гильбертова пространства снабженного поляризацией Пусть равен на на забывая о собственной комплексной структуре мы определим используя комплексную структуру здесь — это рассматриваемое как вещественное векторное пространство, — тогда окажется подгруппой в а представление из гл. 10 — ограничением спинорного представления Заметам, что комплексификация канонически изоморфна относительно отображения

для относительно этого изоморфизма соответствует

Возвращаясь к вещественному гильбертову пространству мы определим пространство комплексных структур, рассматривая все комплексные структуры такие, что оператор Гильберта — Шмидта, или, эквивалентно, полагая изотропно относительно Здесь грассманиан определен, как в гл. 7, с использованием поляризации Очевидно, что любое имеет виртуальную размерность нуль (относительно Далее, так как имеет тот же гомотопический тип, что и его плотное подпространство то имеет тот же мотопический тип, что и

В частности, есть две связные компоненты Гильбертово пространство кососимметричных операторов Гильберта — Шмидта можно отождествить с плотным открытым множеством в сопоставляя его график.

Группа транзитивно действует на и группа изотропии совпадает с Эта группа стягиваема, и потому справедливо

Предложение (12.4.2). Группа имеет тот же гомотопический тип, что и или . У нее есть две связные компоненты, и каждая из них односвязна.

Спинорное представление — это проективное представление но важное отличие от конечномерного случая состоит в том, что его нельзя нормализовать так, чтобы оно стало двузначным. Мы построим расширение связной компоненты с помощью на котором это представление корректно определено. Фактически это определение имеет смысл и для комплексной подгруппы в

Определение (12.4.3) (ср. (12.2.11)). Элемент из это пара где голоморфная функция, такая, что пропорционально функции

Это определение следует пояснить, так как а вообще говоря, не является оператором, обладающим определителем, и, тем более, пфаффианом. Можно выбрать так, что

обратим. Условие ортогональности А влечет за собой кососимметричность оператора Поэтому

а этот оператор обладает определителем, так как имеет вид для кососимметричных операторов Гильберта — Шмидта Однако у такого оператора есть и пфаффиан, который задается формулой

где а пробегает конечные подмножества ортонормированного базиса для соответствующие конечные кососимметричные подматрицы в Формула (12.4.5) получается из (12.2.5), если записать как последовательности операторов конечного ранга: сначала доказывается, что

и аналогичная формула справедлива для

Поэтому в определении (12.4.3) мы интерпретируем как значение пфаффиана (12.4.4) для подходящего : с точностью до умножения на постоянное число выбор несуществен.

Начиная с этого места, конструкция спинорного представления идет точно так же, как и в конечномерном случае, и мы больше не будем говорить о ней. Интерпретацию представления как пространства голоморфных сечений линейного расслоения на тоже можно без изменений перенести из разд. 12.3, кроме, конечно, необходимости различать пространство сечений, его антидвойственное пространство и гильбертово пространство, которое лежит между ними, что мы полностью обсудили в гл. 10. Полученное представление неприводимо, ибо, как мы видели в гл. 10, оно неприводимо даже как представление подгруппы