7. Рациональные кривые

Мы будем использовать в этом параграфе следующее подпространство Оно состоит из всех таких, что

для некоторых многочленов от Заметим, что достаточно» пользоваться лишь такими корни которых лежат в области , так как для умножение на с является обратимым оператором

Легко убедиться, что для следующие условия эквивалентны (ср. [17, предложение (8.3.3)):

(i) для некоторой рациональной петли у (т. е. для такой петли, каждый матричный элемент которой — рациональная функция от без полюсов на ).

(ii) Существуют такие многочлены от z, что

(iii) соизмеримо т. е. имеет конечную коразмерность в

Для из условия (iii) не следует Вот примера Рассмотрим в качестве ядро отображения которое определено следующим образом:

Очевидно, не существует такого многочлена что (В [17, разд. 7.2] для определения использовалось свойство )

Удобство нашего определения подтверждается следующим образом:

Предложение (7.1). Конструкция, описанная в предыдущем параграфе, устанавливает взаимно однозначное соответствие

между подпространствами и классами изоморфизма данных как в (6.2), таких, что

(i) X - рациональная кривая,

(ii) z - рациональный параметр на X,

(iii) продолжается до алгебраической тривиализации пучка 2 на некотором открытом по Зарисскому множестве, содержащем диск

Прежде чем приступать к доказательству, мы поясним термин «рациональный параметр». Рациональность кривой X означает, что имеется алгебраическое отображение сферы Римана В X, которое является изоморфизмом вне прообраза особого множества в Можно выбрать так, что Рациональным параметром z на X мы называем обратное отображение к любому из описанных выше отображений в некоторой окрестности точки отметим, что эта окрестность фактически расширяется до всей неособой части Заметим также, что рациональный параметр единствен с точностью до линейных замен ибо любые два рациональных параметра отличаются на бирациональный автоморфизм сферы Римана, который, конечно, является обычным автоморфизмом. Кроме того, этот автоморфизм должен сохранять а значит, он линеен.

Доказательство (7.1). (i) Пусть соответствующие многочлены. Пусть обозначает то же, что и в доказательстве предложения (6.2). Очевидно, что

откуда легко следует, что Так как кольцо, фактически

Поэтому имеется изоморфизм между полями частных колец т. е. кривая рациональна и рациональный параметр на Из (7.2) ясно, что -модуль следовательно, соответствующий пучок 2 на X имеют ранг 1. Осталось доказать (iii). Пусть тогда вычисление значения в дает отображение которое определено, если не является корнем многочлена и является ненулевым, если не корень многочлена Пусть точка в X, соответствующая и пусть соответствующий максимальный идеал. Отображение определяет отображение слоя пучка 2 в точке в которое является изоморфизмом, если удовлетворяет двум перечисленным выше условиям и если лежит в открытом множестве из X, на

котором 2 является линейным расслоением. Доказательство того, что дает набор алгебро-геометрических данных, на этом заканчивается.

(ii) Обратно, пусть нам заданы ( удовлетворяющие описанным выше условиям. Нам нужно проверить, что лежит в Пусть конечный набор точек, где не определено. Если потребуется, мы увеличим В, включив особые точки кривой Пусть это прообраз В относительно отображения обратное к которому — это параметр z. Тогда мы можем отождествить сечения пучка над с сечениями тривиализованного линейного расслоения над Поэтому пространство сечений пучка над отождествляется с некоторым подпространством в рациональных функций от с предписанными порядками полюсов в точках Точнее, это подпространство в состоящее из всех функций, которые удовлетворяют некоторому конечному числу линейных условий на коэффициенты их разложений Лорана в точках Эти условия заведомо выполняются для всех многочленов с нулями достаточно высоких порядков Поэтому, если положить то

Переходя к -замыканиям, получаем, что как и требовалось.

Напомним, что обозначает подпространство в состоящее из таких что многочлены можно считать степенями (см. [17, разд. 7.2]). Буквально повторяя уже проведенное доказательство, мы получаем

Предложение (7.3). Конструкция, описанная в § 6, дает взаимно однозначное соответствие между подпространствами и классами изоморфизма данных ( как в (6.2), таких, что

(i) X - рациональная кривая лишь с одной неприводимой особой точкой,

(ii) - рациональный параметр на X, такой, что особая точка соответствует

(iii) продолжается до алгебраической тривиализации пучка 2 над всей неособой частью кривой

Термин «неприводимая» в (i) означает, что после разрешения особенности мы все равно получим одну точку, т. е. фактически 2 задает биекцию между X и сферой Римана. Заметим, что

теперь определены однозначно с точностью до умножения на ненулевые константы. Тот факт, что единственна, означает, что соответствие между пространствами из и решениями КП взаимно однозначно. Действительно, легко проверить непосредственно, что если функция вида то лежит в только при

Подпространства дают много простых примеров максимальных пучков без кручения, которые не являются линейными расслоениями. Положим, например, где множество виртуальной размерности нуль. Тогда и мы утверждаем, что соответствующий максимальный пучок без кручения редко оказывается линейным расслоением. Набор образует базис для как векторного пространства. Пусть полугруппа строго положительных чисел для которых Тогда это алгебра, порожденная а максимальный идеал соответствующий особой точке порожден Поэтому размерность слоя пучка 2 в особой точке равна числу элементов в где

Если это число не равно единице, максимальный пучок без кручения 2 не является линейным расслоением. Простейший пример такого это тогда В этом случае размерность особого слоя пучка равна 2. Заметим, что, так как алгебра не порождается двумя образующими, особенность в нуле не плоская; это подтверждает наше наблюдение в § 6 о том, что в плоском случае любой максимальный пучок без кручения является линейным расслоением.

Случай

Вообще говоря, классы изоморфизма данных, перечисленных в предложении (7.3), трудно классифицировать. Однако, если ограничиться случаем пространства происходит много упрощений; возможно, наиболее важное из них состоит в том, что орбиты группы совпадают с клетками его клеточного разбиения (см. [17, разд. 7.4]). Мы кратко опишем эту ситуацию, оставляя большинство легких доказательств читателю. Для простоты все последующее относится лишь к компоненте, состоящей из пространств нулевой виртуальной размерности.

Напомним, что клетки клеточного разбиения пространства нумеруются множествами такими, что

(ср. [17, разд. 8.4]). Легко убедиться, что все имеют вид

Мы обозначаем символом С соответствующую клетку в ее комплексная размерность равна и состоит она из всех виртуальной размерности нуль, таких, что минимальное число, обладающее этим свойством. Легко видеть непосредственно, что такие образуют -мерную клетку: такое подпространство содержит элемент вида

образуют базис в Поэтому однозначно определяет Обратное неверно; впрочем, коэффициенты а, можно различными способами нормализовать. Мы выберем следующий:

Лемма (7.4). Любое пространство содержит единственный элемент вида

Соответствие а дает явный изоморфизм клетки центр клетки (соответствующий началу координат в образует подпространство которое мы будем обозначать просто Из леммы (7.4) ясно, что подгруппа действует на сдвигом координаты В частности, мы видим, что совпадает с орбитой элемента относительно

Интересно сравнить это описание орбит действия с неявным алгебро-геометрическим описанием из предложения (7.3). Вот основные моменты. Во-первых, если то обозначим это кольцо просто Пусть соответствующая полная кривая и якобиан кривой (параметризующий линейные расслоения степени нуль). Если, пользуясь точкой отождествить линейные расслоения различных степеней, то пучок без кручения на соответствующий оказывается нулевым элементом в в самом деле, ясно, что Значит, орбита элемента под действием т. е. клетка отождествляется с якобианом Тот факт, что клетки покрывают показывает, что из возникают лишь кривые и что всякий максимальный пучок без кручения на является линейным расслоением. Оба этих факта можно усмотреть непосредственно: легко показать, что любое подкольцо в содержащее и некоторую нечетную степень z, должно совпадать с одним из колец как мы

отмечали ранее, утверждение о пучках справедливо для любой кривой с плоскими особенностями (простое доказательство, содержащее наш случай (вырожденная гиперэллиптическая кривая X), можно найти в [8]; фактически это утверждение об особенностях типа неявно содержится в Для непосредственной проверки того, что это -мерная клетка, мы можем использовать экспоненциальную точную последовательность для пучков: так как получается изоморфизм Размерность векторного пространства можно вычислить как число «пробелов» в кольце число положительных целых таких, что не содержит многочлена порядка Алгебры инвариантны относительно что влечет за собой изоморфизм пар для различных с поэтому скейлинговые преобразования можно рассматривать как потоки на якобианах . В самом деле, из леммы (7.4) мы видим, что скейлинговый поток на клетке имеет вид

Наконец, интересно рассмотреть замыкание клетки С: это объединение всех клеток при . С другой стороны, состоит из всех таких, что Значит, каждая точка из определяет пучок без кручения (вообще говоря, не максимальный) на фактически получается биективное отображение где пространство модулей пучков без кручения ранга 1 с фиксированной эйлеровой характеристикой на (см. [7]). Замкнутая клетка будет алгебраическим пространством, так как она является алгебраическим подмножеством (заданным уравнением в грассманиане -мерных подпространств в и совершенно ясно, что описанная конструкция дает алгебраическое семейство пучков на отсюда следует, что — алгебраическое отображение. К сожалению, мы не можем утверждать, что это изоморфизм алгебраических пространств: например, одномерное проективное пространство (значит, неособое), а изоморфно кривой которой есть особая точка. (Мы не знаем точной ссылки на этот факт, однако Делинь и Экедал любезно указали нам, что это легко следует из (2.6.1) в Мы надеемся, что в общем случае является нормализацией Включение дает отображение значит (беря прямой образ пучков), отображение . Это отображение соответствует включению отождествляет с границей пространства т. е. с пространством пучков без кручения на которые не являются линейными расслоениями.

Решения уравнений соответствующие точкам подробно изучались клетка соответствует решениям иерархии возникающим из начального условия

(Это начальное значение соответствует пространству как станет ясно в § 8, когда мы опишем -функции пространств Известно, что рациональные решения иерархии обращающиеся в нуль при исчерпываются уже описанными.