8.3. Грассманово описание ...

Группа действует на гильбертовом пространстве следовательно, согласно предложению (6.3.1), на грассманиане Подпространства вида для обладают свойством и действие 7 коммутирует с умножением на скалярную функцию z. Оказывается, что орбита относительно действия по существу характеризуется этим свойством. (Мы обычно будем писать вместо вместо когда не нужно подчеркивать, что являются операторами.)

Определение (8.3.1). обозначает замкнутое подмножество в состоящее из подпространств для которых

Это и есть грассманово описание пространства петель. Его основное свойство состоит в следующем.

Теорема (8.3.2). Группа транзитивно действует на а группа состоящая из постоянных петель, совпадает стабилизатором подпространства

Напомним (см. предложение (6.3.3)), что это коммутант оператора умножения

Очевидно, что если и только если поэтому утверждение теоремы (8.3.2) о стабилизаторе для это вариант теоремы о «максимуме модуля». При это утверждение о том, что отображение которое продолжается до не обращающейся в нуль голоморфной функции в диске, является постоянной функцией.

Доказательство (8.3.2). Сначала докажем следующее утверждение: если лежит в то коразмерность равна Рассмотрим коммутативную диаграмму

в которой горизонтальные стрелки обозначают включения, а вертикальные — ортогональные проекции. Два вертикальных отображения фредгольмовы и, очевидно, имеют равные индексы (совпадающие с виртуальной размерностью Кроме того, включение также фредгольмово с индексом Отсюда следует, что вложение также фредгольмово, и его

индекс должен быть равен в силу формулы Для индекса произведения [34]. Итак,

Пусть -ортонормированный базис для ортогонального дополнения к которое мы обозначим Так же как и при доказательстве (6.1.1), мы составим из векторнозначных функций до -матричнозначную функцию у на Значения оказываются унитарными матрицами для почти всех т. е. у принадлежит Чтобы убедиться в этом, напишем

где . Тогда

где временно мы обозначим через скалярное произведение в чтобы отличать его от скалярного произведения в

Таким образом, мы получили, что оператор умножения унитарный оператор в кроме того, по построению он удовлетворяет условию

для всех Для доказательства того, что нужно доказать, что Предположим, что до лежит в и что II до Тогда лежит в для всех Так как проекция компактный оператор, то из можно выбрать сходящуюся последовательность, которая сходится, скажем, Очевидно, что так как Однако для любых при полученное противоречие показывает, что

Для доказательства того, что оператор лежит в заметим, что его -компонента разлагается:

и, следовательно, является оператором Гильберта — Шмидта; -компонента также является оператором Гильберта — Шмидта в силу унитарности

Итак, мы доказали, что транзитивно действует на Далее, любой оператор такой, что должен сохранять -мерное подпространство и полностью

дзеделяться своим действием на этом пространстве. Следовательно, он принадлежит

Теорема (8.3.2) показывает, что можно отождествлять с как множество, что оправдывает слова «грассманово описание». Позже мы вернемся к топологическому аспекту этого отождествления. А сейчас мы определим, какие подмножества соответствуют четырем пространствам где обозначает и докажем теоремы о разложении из разд. 8.1.

Предложение (8.3.3). При отождествлении

(i) соответствует ,

(ii) соответствует ,

(iii) соответствует ,

(iv) соответствует

Напомним, что группы полиномиальных, рациональных, вещественно-аналитических и гладких петель упоминались в разд. 3.5, а соответствующие подпространства грассманиана были определены в разд. 7.2.

Доказательство. Для доказательства соответствий из предложения (8.3.3) в одну сторону необходимо показать, что если где или то состоит из функций соответствующего класса. Рассмотрим бесконечно дифференцируемый случай. Если лежит в то, согласно предложению (7.2.1), образы обеих проекций и состоят из гладких функций. Поэтому функция из имея гладкие проекции на сама является гладкой. Точно такие же аргументы справедливы для и для

Для случая утверждение, что образ проекции состоит из рациональных функций, равносильно утверждению о существовании многочлена такого, что Это не всегда верно для но становится верным при выполнении дополнительного условия В качестве можно использовать минимальный многочлен преобразования, индуцированного на конечномерном пространстве Аналогично, для доказательства того, что образ состоит из рациональных функций, необходим многочлен такой, что а Это эквивалентно условию и в качестве можно выбрать минимальный многочлен для действующего на

Для доказательства соотношений из предложения (8.3.3) в другую сторону заметим, что, очевидно, действие

сохраняет сохраняет так как существуют многочлены обладающие свойством

которое в свою очередь характеризует пространства лежащие в Группа гладких петель сохраняет в силу предложения (7.2.1), и по аналогичным причинам сохраняет Доказательство предложения (8.3.3) закончено.

Замечания, (i) Причина, по которой нет простой модели для пространства непрерывных петель состоит в том, что положительночастотные и отрицательночастотные части непрерывной функции оказываются разрывными. Другими словами, в отличие от четырех классов функций, которые обсуждались для пространства С, состоящего из непрерывных функций на неверно, что где Пусть, например, это функция, которая уже упоминалась в разд. 6.3,

Функция непрерывна. Однако где

неограничена в окрестности не является плотным в несмотря на то что плотен в Как мы видели в разд. 3.5, петля в может быть полиномиальной, только если ее определитель равен В разд. 8.10 мы увидим, что тем не менее гомотопические типы совпадают.

Грассманово описание тотчас же дает первую из трех, основных теорем разложения для петель. Действительно, комплексная группа действует на так же, как и стабилизатор очевидно, является: замкнутой подгруппой состоящей из петель у, которые являются граничными значениями голоморфных отображений

Так как транзитивно действует на справедливо

Предложение (8.3.5). Группа разлагается в произведение

Более того, в точности такое же разложение имеет место для гладких, вещественно-аналитических, рациональных и полиномиальных петель.

Замечание. Это предложение неверно для группы непрерывных петель, что легко усмотреть из единственного разложения для функции определенной формулой (8.3.4).

Мы еще не полностью доказали теорему (8.1.1). Осталось показать, что отображение умножения является диффеоморфизмом. Для этого достаточно доказать гладкость отображения

которое сопоставляет петле ее унитарную компоненту. Отображение и пред ставимо в виде где

(i) - это по определению проектирование столбцов составляющих на ;

(ii) это по определению отображение ортогонализации и нормирования базиса для Второе из этих отображений, очевидно, гладкое. Первое отображение является гладким, потому что гладко действует на гладком грассманиане, топология которого в свою очередь определена так, чтобы гарантировать гладкость отображения

которое сопоставляет гладкой функции на окружности и подпространству проекцию функции на пространство

Заметим, что предшествующие аргументы не применимы к группе Снова воспользовавшись функцией определенной формулой (8.3.4), заметим, что для любого петля разлагается следующим образом: Отображение t гладкое, однако множество дискретно в топологии потому что функция неограничена.