8.9. «Омега-G» как кэлерово многообразие: поток энергии

В этом разделе мы рассмотрим с другой, более геометричной точки зрения.

Выберем некоторое положительно определенное инвариантное скалярное произведение алгебре Ли . В гл. 4 мы определили кососимметричную форму на

которая является левоинвариантной замкнутой -формой на Эта форма инвариантна относительно сопряжения постоянными петлями, обращается в нуль, если или постоянны, и, значит, определяет инвариантную замкнутую -форму на однородном пространстве Если ненулевой элемент касательного пространства к в отмеченной точке, то всегда существует некоторый вектор такой, что (Можно положить Поэтому следует считать, что со определяет симплектическую структуру на

Если X — конечномерное симплектическое многообразие с симплектической формой , то всякой гладкой функции соответствует так называемое гамильтоново векторное поле на X, определяемое из соотношения

где произвольный касательный вектор к X в х. В бесконечномерном случае существование не очевидно, но очевидна единственность. С другой стороны, легко видеть, что в случае односвязного X всякое сохраняющее форму со векторное поле можно представить в виде для некоторой гладкой функции (Это следует из теоремы де Рама, так как является замкнутой -формой на Мы будем использовать два частных случая этой конструкции.

Рассмотрим сначала функцию энергии

(Здесь и везде мы используем такие обозначения, как если бы петля являлась матричнозначной функцией. А именно, обозначает элемент из полученный левым сдвигом в отмеченную точку касательного вектора в точке Формула (8.9.2) написана для однако является инвариантной относительно левого и правого умножения на элементы из

Предложение (8.9.3). Гамильтоново векторное поле на соответствующее является генератором потока, отвечающего вращению петель.

Замечание. В этом предложении рассматривается как однородное пространство а не как подмножество в Как подмножество оно не сохраняется при повороте. Если рассматривать как подмножество в то действие поворота на угол а на петлю следует определить соотношением

Доказательство (8.9.3). При инфинитезимальном изменении петли у изменение равно

С другой стороны, у — значение векторного поля, соответствующего повороту, в точке у (по модулю действия постоянного элемента из ). Мы должны показать, что

Это так, потому что

а

Следствие (8.9.5). Критические точки функции энергии на это петли у, которые являются гомоморфизмами

Доказательство. Критические точки функции — это в точности неподвижные точки соответствующего гамильтонова векторного поля. Из формулы (8.9.4) видно, что для всех если и только если у — гомоморфизм.

Наш следующий пример гамильтонова потока еще проще.

Предложение (8.9.6). Поток на порожденный элементом соответствует гамильтоновой функции задаваемой формулой

Доказательство этого факта проводится непосредственно.. Ср. [8].

Замечание (8.9.7). Комбинируя (8.9.3) и (8.9.6), мы видим, что гамильтонова функция, соответствующая скрученному полю вращения на которое рассматривалось в доказательстве. (8.6.4), является скрученной энергией:

Критические точки этой функции изолированы, они являются гомоморфизмами

Наша цель — применить теорию Морса к функции энергии на т. е. исследовать траектории градиента функции энергии Чтобы придать этому смысл, необходимо снабдить римановой структурой. Имеется очень много инвариантных римановых метрик на однако естественный выбор метрики фиксируется тем, что является комплексным многообразием: в разд. 8.6 мы доказали, что пространство изоморфно и что. оно локально диффеоморфно

Предложение (8.9.8). Комплексная и симплектическая структуры на согласованы, и снабженное этими структурами является кэлеровым многообразием.

Это означает следующее: пусть Т — вещественное касательное пространство к в точке его автоморфизм, соответствующий умножению на в терминах комплексной структуры для тогда

(ii) является положительно определенным скалярным произведением на Т.

Кэлерова форма на Т задается формулой

Доказательство. В силу инвариантности комплексной структуры и формы со достаточно рассмотреть случай у — 1. Пусть разлагается в ряд где тогда действие на состоит в умножении на при и на при (Постоянный член не следует рассматривать, так как мы реально работаем с Далее,

где скалярное произведение продолжено до комплексной билинейной формы на Это дает нам так как

Для функции на кэлеровом многообразии ее градиент связан с ее гамильтоновым векторным полем просто применением операторов в касательном расслоении; по существу эти векторные поля являются вещественной и мнимой частями распределения, параметризованного с помощью Как мы уже видели в разд. 7.6 и 8.6, действие группы Т поворотами на и на продолжается до голоморфного действия полугруппы (Заметим, что мы уже рассматривали три различных действия Т на Действие из разд. 7.6 происходит из отождествления То действие, которое мы рассматриваем сейчас, происходит из изоморфизмов а Имеется также скрученный вариант этого действия, который использовался в разд. 8.6, когда поворот сопровождался сопряжением с помощью элементов однопараметрической подгруппы из Все эти действия диагональны в стандартном ортонормированном базисе для и для элемента состоят в умножении базисного вектора на степень элемента и, которая возрастает с ростом и стремится к при Теперь мы можем по-другому интерпретировать рассуждения разд. 7.6 и 8.6 и, в частности, доказательство (8.6.4).

Напомним прежде всего [115], что векторное поле на бесконечном многообразии может и не иметь траекторий, а если эти траектории существуют, они могут не быть единственными. Развитую нами теорию можно подытожить следующим образом.

Теорема Для любой точки имеется нисходящая траектория градиента энергии, которая задается отображением

(ii) Петля является вещественно-аналитической при и сходится к гомоморфизму при

(iii) Восходящая траектория определенная для ненулевого существует, если и только если у — вещественно-аналитическая петля. Она определена для всех если и только если у — полиномиальная петля, и в этом случае сходится к гомоморфизму при

(iv) Множества из предложения (8.6.5) являются восходящим и нисходящим многообразиями критического уровня для энергии, т. е.

Интересно рассмотреть частный случай Связную компоненту единицы для можно отождествить с векторным пространством гладких функций При этом

Нисходящая траектория градиента функции получается решением параболического псевдодифференциального уравнения

где Пусть тогда

Утверждения (i), (ii) и (iii) из теоремы (8.9.9) в этом случае абсолютно прозрачны. Однако для произвольной группы аналог уравнения (8.9.10) нелинеен; и хотя наши результаты выглядят весьма правдоподобно, вероятно, нелегко доказать их непосредственно.

Классическая и квантовомеханическая энергия

Комбинируя изоморфизм и вложение Плюккера для грассманиана (см. разд. 7.5 и 7.7), мы получаем голоморфное вложение

Действие окружности на поворотами индуцирует действие на , порожденное неограниченным эрмитовым оператором Мы будем представлять себе классическим пространством состояний, а -соответствующим квантовым пространством состояний. Для любой петли у выберем единичный вектор лежащий на прямой

Предложение (8.9.11).

где классическая энергия определена с помощью формы Киллинга на

Заметим, что правая часть является средним значением квантового оператора энергии в состоянии

Доказательство. Этот результат следует из того, что каноническая кэлерова структура на индуцирует кэлерову структуру на соответствующую форме Киллинга на Это в свою очередь справедливо в силу того, что кэлерова форма на ограниченная на является стандартной -инвариантной формой, которая соответствует основному -коциклу на алгебре Ли группы Этот коцикл ограничивается до основного коцикла на следовательно, в силу вложения с помощью присоединенного действия до -коцикла на связанного с формой Киллинга.

Замечание. Поучительно вывести предложение (8.9.11) непосредственно из формулы (7.8.4), т. е. доказать, что

где является преобразованием Гильберта (см. (6.3.2)). Легко проверить, что оператор справа имеет ядро

для При оно сводится к

Отсюда (8.9.11) получается взятием следа и интегрированием частям.