6.6. Центральное расширение группы ...

Мы определим теперь центральное расширение группы помощью мультипликативной группы ненулевых комплексных чисел. Мотивировка этого определения выяснится в гл. 7.

Для начала напомним некоторые факты о следах и определителях операторов в гильбертовом пространстве. За доказательствами и дальнейшими подробностями мы отсылаем читателя к [137].

(i) Оператор где гильбертовы пространства, называется оператором со следом, если он имеет вид

где ортонормированные семейства в Тогда следовая норма оператора Т определяется а след определенный при задается формулой

(ii) Операторы со следом в образуют двусторонний идеал содержащийся в идеале операторов Гильберта-Шмидта. Произведение двух операторов Гильберта — Шмидта есть оператор со следом.

(iii) По определению оператор имеет определитель, если и только если - оператор со следом. Если А имеет определитель, то он обратим тогда и только тогда, когда Если имеют определители, то этим же свойством обладает и , причем

Чтобы получить центральное расширение группы мы начнем с построения расширения

компоненты единицы группы с помощью группы всех обратимых операторов имеющих определитель (топология в определяется с помощью метрики, задаваемой следовой нормой). Расширение представляет самостоятельный интерес. Мы увидим, что оно является стягиваемой банаховой группой Ли. Точная последовательность гомотопических групп, связанная с расслоением (6.6.1), показывает, что

Как известно, последняя группа при совпадает с (см. например это дает нам уже упоминавшийся изоморфизм (6.4.1).

Расширение определяется очень просто. Компонента единицы в состоит из операторов

таких, что фредгольмов оператор а имеет индекс нуль. Поскольку а имеет индекс нуль, к нему можно добавить оператор конечного ранга так, чтобы оператор был обратим. Определим как следующую подгруппу в

Мы снабдим ее, однако, не топологией подгруппы, а топологией, индуцированной ее вложением

в качестве открытого множества в Она является тогда банаховой группой Ли. Как мы уже говорили, мотивировка этого определения группы будет дана в гл. 7, но, во всяком случае, ясно, что есть расширение группы с помощью

Предложение (6.6.2). Группа стягиваема. Доказательство. Рассмотрим диаграмму

в которой верхнее горизонтальное отображение есть » нижнее горизонтальное отображение есть правое вертикальное отображение есть обозначает операторы Фредгольма в с индексом 0. Оба вертикальных отображения являются расслоениями с группой в качестве слоя, причем наша диаграмма декартова (т. е. левое расслоение есть обратный образ правого). В силу (6.2.4) нижнее горизонтальное отображение является гомотопической эквивалентностью; отсюда вытекает, что это же верно и для верхнего отображения. Но пространство стягиваемо.

Используя гомоморфизм взятия определителя, мы можем получить из расширение (очевидно, центральное) группы с помощью Это расширение есть просто где — ядро гомоморфизма Мы хотим, однако, получить расширение всей группы а не только ее компоненты единицы. Но есть полупрямое произведение своей компоненты единицы на где в качестве можно взять подгруппу, порожденную любым элементом из -компонент, например оператором сдвига вкладывающим в свое подпространство коразмерности один. Автоморфизм группы накрывается эндоморфизмом а группы определяемым формулой

где

Эндоморфизм а индуцирует на нормальной подгруппе отображение и не является автоморфизмом. На самом деле, хотя мы не будем здесь этого доказывать, не существует автоморфизма группы накрывающего автоморфизм а значит, не существует расширения группы с помощью продолжающего расширение . С другой стороны, поскольку наш эндоморфизм группы

индуцирует автоморфизм группы и мы можем получить центральное расширение группы с помощью как полупрямое произведение Это и есть искомое расширение.

Замечание (6.6.3). Легко проверить, что если а — произвольный элемент в такой, что представитель элемента а, то в всегда выполняется приведенная выше формула

У расслоения нет непрерывных сечений (в самом деле, из (6.6.2) вытекает, что его класс Чженя есть универсальный первый класс Чженя в так что это расширение не может быть описано с помощью непрерывного коцикла. Но у расслоения есть сечение, определенное на подмножестве в на котором элемент а обратим; она задается формулой В этой области, являющейся плотным открытым подмножеством в компоненте единицы в справедливо

Предложение (6.6.4). Если в причем лежат в то в

где

Отметим, что определитель имеется лишь у комбинации а не у самих операторов

Главная практическая польза предложения (6.6.4) состоит в том, что оно позволяет вычислить соответствующий коцикл на алгебре Ли для расширения Если расширение группы Ли определяется гладким коциклом соответствующий коцикл на алгебре Ли есть

где обозначает смешанную вторую частную производную отображения с в единице. Алгебра Ли группы состоит из всех ограниченных операторов таких, что есть оператор Гильберта — Шмидта. Как обычно, мы записываем их в виде

где — операторы Гильберта — Шмидта. Мы получаем

Предложение (6.6.5). Коцикл на алгебре Ли, соответствующий расширению задается формулой

где

В заключение этого раздела отметим, что естественно определить как пересечение Тогда есть расширение группы с помощью а его комплексификадия.