8.5. Грассманово описание для других классических групп

Грассманово описание пространства петель для легко модифицируется для ортогональной и симплектической групп.

Ортогональная группа

Группа состоит из вещественных матриц из поэтому является подмногообразием в

Предложение (8.5.1). Подпространство соответствует петле в если и только если оно лежит в

Все подпространства имеют виртуальную размерность нуль, но из (8.5.1) следует, что состоит из двух связных компонент, которые отличаются четностью размерности ядра проекции (Мы еще вернемся к этому в гл. 12: пространство из разд. 12.4 тесно связано с

Прежде чем доказывать предложение (8.5.1), заметим, что комплексное подмногообразие в ибо отображение является комплексной инволюцией на в координатной окрестности, состоящей из графиков операторов она представляется комплексно-линейным отображением Посылка предложения (8.5.1) утверждает, что очень близко к изотропному подпространству в относительно комплексной билинейной формы В на определенной соотношением точнее, радикал пространства относительно В равен

Заметим, что сейчас нам следует избегать отождествления с потому что оно не согласовано с вещественностью.

Доказательство (8.5.1). Предположим сначала, что у — петля со значениями в комплексной ортогональной группе Тогда оператор сохраняет комплексную билинейную форму В на следовательно, он коммутирует с операцией

взятия ортогонального дополнения относительно В. Так как удовлетворяет соотношению то же верно и для

Обратно, если то значит, является комплексификацией вещественного -мерного подпространства в и мы можем найти для него ортогональный базис, состоящий из вещественных функций. Следовательно, для некоторой петли у со значениями в

Предложение (8.5.1) непосредственно дает две теоремы о разложении: является однородным пространством группы на котором транзитивно действует что дает

Предложение (8.5.2). Отображение умножения

является диффеоморфизмом. Здесь обозначает петли, являющиеся граничными значениями голоморфных отображений

Далее, любой элемент из в подходящей окрестности подпространства трансверсален т. е. Для таких пространств пересечение -мерно и Мы знаем (см. доказательство предложения (8.4.1)), что любой базис для образует столбцы петли такой, что Если базис выбран ортогональным относительно В — это возможно, ибо ограничение В на Необязательно невырожденно, — то у лежит в потому что (см. доказательство теоремы

Предложение (8.5.3). Отображение умножения

является диффеоморфизмом на открытое подмножество в

Мы могли бы сейчас перейти к выводу разложений Биркгофа и Брюа, но отложим это до следующего раздела.

Симплектическая группа

Группа это подгруппа всех элементов и из которые сохраняют невырожденную кососимметричную форму на Эквивалентным образом, она состоит из унитарных кватернионно-линейных преобразований и (при отождествлении Если антилинейное отображение, представляющее умножение на кватернион то и лежит в если только если Комплексификация группы это подгруппа всех элементов из сохраняющих кососимметричную комплексно-билинейную форму определенную соотношением

По аналогии с (8.5.1) имеем

Предложение (8.5.4). Подпространство соответствует петле со значениями в если и только если оно лежит в

Доказательство повторяет доказательство предложения (8.5.1); из этого результата следуют две теоремы о разложении, в точности аналогичные предложениям (8.5.2) и (8.5.3).