5. Функция Бейкера

В этом параграфе будут обозначать компоненты соответствующих грассманианов виртуальной размерности нуль. Мы сопоставим каждому функцию Бейкера а также набор дифференциальных операторов, определенных в терминах

Напомним ([17, гл. 7]), что на действует группа состоящая из голоморфных отображений для Пусть положим

Начиная с этого места, мы будем называть подпространства, трансверсальные к просто трансверсальными. Из § 3 следует, что дополнение к множеству нулей -функции в частности, это плотное открытое подмножество в

(Мы временно считаем, что непусто, т. е. что голоморфная функция не равна тождественно нулю — это будет доказано в § 8.)

Предложение (5.1). Для любого существует единственная функция определенная для такая, что

(i) для любого

(ii) имеет вид

Коэффициенты — аналитические функции на они продолжаются до мероморфных функций на всем

Доказательство последнего утверждения зависит от свойств -функции и будет приведено в этом параграфе позднее. Остальная часть предложения тривиальна: бесконечный ряд в (5.2) — единственная функция этого вида, которая лежит в трансверсальном пространстве т. е. это прообраз 1 относительно ортогональной проекции

Мы называем функцией Бейкера для Далее, каждый элемент из может быть единственным образом записан в виде

для . Когда представлено таким образом, мы будем писать вместо Здесь обозначает В таких обозначениях это «функция от бесконечного числа переменных» вида

Предложение (5.5). Для любого целого имеется единственный дифференциальный оператор вида

такой, что

(Здесь, как обычно, Коэффициенты являются универсальными дифференциальными многочленами от функций

Доказательство. Из (5.4) мы получаем

С другой стороны, имеет тот же вид и вообще

Сравнивая коэффициенты, мы непосредственно получаем, что существует единственный оператор требуемого вида, такой, что

Далее, поскольку лежит в для всех то и также лежат в Значит, левая часть (5.7) лежит в для всех для которых она определена, т. е. для таких что соответствующий элемент лежит Но правая часть (5.7) лежит в Поскольку трансверсальное подпространство, обе части (5.7) должны быть равны

Пусть теперь

— формальный интегральный оператор, соответствующий (см. § 4). Уравнение (5.6) можно переписать в виде

откуда, в частности, получаем, что

где мы положили это формальный псевдодифференциальный оператор вида

Предложение (5.9). Коэффициенты оператора удовлетворяют уравнениям иерархии КП, т. е.

Каждая функция мероморфна по переменным

Доказательство. Дифференцируя соотношение, определяющее мы получаем

С другой стороны, из (5.8) следует, что

отсюда уже вытекает наше предложение.

Напомним ([17, разд. 7.6]), что растяжение z приводит к действию полугруппы комплексных чисел на

Предложение Функция Бейкера, соответствующая пространству равна

Если решение уравнений КП, соответствующее то решение, соответствующее равно (см. предложение (4.13)).

Доказательство тривиально.

Теперь мы рассмотрим подпространства из

Предложение (5.11). Пусть тогда

Кроме того, функции а, и, следовательно, операторы не зависят от

Доказательство. Из (5.4) и (5.6) мы получаем, что

Если то левая часть этого выражения лежит в для всех поэтому она равна нулю по тем же причинам, что и левая часть (5.7). Это доказывает первое утверждение предложения и независимость от Так как, очевидно, для всех не зависят и от

Поскольку не зависят от то от не зависит и оператор таким образом, из (5.8) следует, что

Значит, если то дифференциальный оператор.

Напишем вместо тогда имеет вид Сопоставляя предложения (5.9) и (4.12), мы получаем основной результат этого параграфа:

Следствие (5.12). Если то коэффициенты оператора удовлетворяют уравнениям иерархии т. е.

Слегка переформулируем это утверждение. Пусть для любого обозначает оператор при Коэффициенты оператора являются функциями одной переменной это «начальные данные» для потоков Пусть пространство таких для Отображение не является взаимно однозначным, однако из (4.7) следует, что если и только если где у — это функция вида Так как умножение на у коммутирует с действием мы можем переформулировать следствие (5.12) следующим образом:

Предложение (5.13). Действие на индуцирует действие на пространстве Поток на индуцирует поток КдФ на

Поскольку коммутативна, очевидно, что различные потоки КдФ на коммутируют.

Примеры

Простейший интересный пример подпространства в получается следующим образом. Выберем число такое, что пусть есть -замыкание пространства функций голоморфных при кроме, возможно, простого полюса при которые удовлетворяют соотношению

Функция Бейкера для должна иметь вид

(Мы пишем где отождествляется с Из условия получаем

где

Дифференциальный оператор второго порядка, для которого

Это известное односолитонное решение уравнения

Более общо, пусть подпространство, введенное в § 3, которое зависит от точек в диске и от параметров Соответствующее решение уравнения КдФ называется -солитонным. Ниже мы приведем формулу для этого решения в терминах -функции, вычисленной в § 3, а сейчас отметим лишь тот очевидный факт, что оно зависит от лишь через где Это так, ибо орбита подпространства под действием изоморфна действительно, если элемент из то где

Функция Бейкера и -функция

Теперь мы возвращаемся к доказательству последней части предложения (5.1) относительно свойств функций а. Оно основано на формуле (5.14), которая связывает функцию Бейкера с -функцией; во введении мы отметили центральный характер этой формулы. Вернемся к случаю произвольного подпространства (оно, вообще говоря, не лежит ни в каком Напишем

для обозначения бесконечного ряда из (5.2). Очевидно, что продолжается до аналитической функции по z при Для мы обозначим через отображение

при Предложение (5.14). Для и

Доказательство. Из (3.2) легко следует, что правая часть этой формулы равна Левая часть нашей формулы

растеризуется как единственная функция вида граничное значение которой лежит в трансверсальном

пространстве Поэтому предложение будет доказано, если мы применим к следующую лемму.

Лемма (5.15). Пусть подпространство трансверсально, и пусть это единственный элемент из такой, что Тогда для

Доказательство. Мы используем формулу (3.5). Если записать в виде отображение переводит поэтому отображение ранга один, которое переводит в постоянную функцию Отображение также имеет ранг 1, и бесконечный определитель

равен

Так как А отображает 1 в доказательство леммы заканчивается.

Если мы запишем в виде (5.3) и в виде

то (5.14) примет вид

Тот факт, что функции мероморфны, непосредственно следует из этой формулы: действительно, разлагая числитель (5.16) в ряд Тейлора, мы получаем, что имеют вид

где полиномиальный дифференциальный оператор от Например,

Доказательство предложения (5.1) теперь закончено.

Мы можем сформулировать более точное утверждение: описать порядки полюсов функций Зафиксируем переменные положив и будем рассматривать а как мероморфные функции от одной переменной х.

Предложение (5.17). Порядок полюсов функции не превышает

Для это непосредственно следует из формулы, приведенной выше, и того факта, что аналитическая функция. Для это уже не так просто; например, если бы оказалось, что то соответствующая функция имела бы в нуле полюс порядка. Наше доказательство предложения (5.17) использует разложение -функции на функции Шура: оно будет приведено в § 8.

Следствие (5.18). Для дифференциальные операторы имеют лишь регулярные особые точки (кроме бесконечности), т. е. коэффициент при имеет полюсы не более чем порядка.

Доказательство. Напомним, что где Поэтому, снабдив весом мы получим, что - однородный дифференциальный многочлен от веса (ср. доказательство предложения (4.2)). Поэтому следствие непосредственно вытекает из предложения (5.17).

Наконец, заметим, что коэффициенты оператора выражаются непосредственно через -функцию. При он имеет вид где

Однако при явные формулы становятся очень сложными. Класс

Мы показали, как по подпространству построить дифференциальный оператор -го порядка

с мероморфными коэффициентами и только регулярными особыми точками. Теперь мы опишем обратный процесс построения пространства по дифференциальному оператору Произвольный дифференциальный оператор для этой цели не годится, даже если его коэффициенты мероморфны, а особые точки регулярны. Мы не знаем вполне удовлетворительного описания класса грубо говоря, он состоит из тех операторов, для которых формальная функция Бейкера сходится при больших z.

Пусть имеет вид (5.20) с гладкими коэффициентами, определенными в открытом интервале, содержащем нуль.

Формальная функция Бейкера

для была введена в § 4. Она является формальным рядом, коэффициенты которого являются гладкими функциями на интервале однозначно определяется по если потребовать нормализации Если формальных рядов

(которые лежат в поле сходятся для больших z, то скейлинговым преобразованием мы можем получить из них сходящиеся при которые определят элементов; нашего гильбертова пространства Мы хотели бы определить соответствующее как замкнутое -инвариантное пространство в порожденное функциями т. е. как где у — это -матричнозначная функция на окружности. (Рассматривая у как матричнозначную функцию, мы используем отождествление , описанное в [17, разд. 6.5]). Чтобы это оказалось. возможным, необходимо проверить, что петля у имеет нулевое число вращения в иначе окажется больше, чем пространство, алгебраически порожденное элементами Выписывая у явно в соответствии с формулами (6.5.1) из [17], мы получаем

где корни степени из z. Но при Поэтому у голоморфна при и при Дополнительным растяжением можно добиться, чтобы стало обратимой матрицей при к чему мы и стремимся.

Заметим, что ряды зависят лишь от струй (т. е., рядов Тейлора) в нуле коэффициентов оператора и наоборот, ряды определяют струи в нуле. Подпространство которое мы построили, имеет свою функцию Бейкера которая определяет оператор с коэффициентами, мероморфными на всей комплексной плоскости. (Для краткости мы будем писать , обозначая функцию Бейкера при

Так как лежат в и имеют вид (меньшие члены), то индукция по доказывает, что они совпадают. Струи коэффициентов операторов в нуле также должны совпадать. Таким образом, мы получаем первую половину следующего результата.

Предложение (5.22). (i) Если ряд (5.21) сходится в окрестности то найдутся мероморфные функции определенные на всей комплексной плоскости, такие, что и -имеют одинаковые ряды Тейлора в нуле.

(ii) Если ряд сходится при для всех х в , то совпадают с

Чтобы доказать второе утверждение, мы определим как решение уравнения с начальными условиями Все являются целыми функциями от для из Если z фиксировано и то и

являются решениями уравнения с одинаковыми начальными условиями. Поэтому они совпадают, а значит, лежит в при всех Так как лежит также в то при всех и поэтому совпадают на