10.4. Г как сумма симметрических алгебр

Как мы уже видели (ср. (10.1.6)), пространство сечений является прямым произведением пространств которые соответствуют различным связным компонентам грассманиана. Каждое это представление связной компоненты единицы группы а элементы компоненты группы отображают . В этом разделе мы покажем, что пространство может быть отождествлено с пополнением симметрической алгебры и что это стандартное представление Гейзенберга подгруппы Существенный момент состоит в том, что пространство голоморфных сечений расслоения Det над совпадает с пространством голоморфных сечений ограничения этого расслоения на подпространство из разд. 8.3.

Группа действует на операторами умножения. Пусть обозначает подгруппу в состоящую из элементов вида

где

Имеет смысл отметить следующий результат, хотя мы и не будем его использовать.

Предложение (10.4.2). Группа свободно действует на

Доказательство. Предположим, что для Пусть элемент из минимального порядка (см. разд. 7.3). Тогда он определен однозначно, если он нормализован так, что

а поскольку имеет тот же вид, мы имеем Отсюда следует, что

Рассмотрим орбиту отмеченной точки относительно действия Точки этой орбиты не пересекаются с подпространством (которое инвариантно относительно значит, изоморфно проектируются на Ограничение расслоения Det на эту орбиту можно канонически тривиализовать, отождествляя с помощью проекции. Это означает, что голоморфные сечения расслоения при ограничении дают обычные голоморфные функции на

Если мы запишем произвольный элемент группы в виде (10.4.1), то полиномиальное кольцо очевидно, содержится в как плотное подмножество, фактически как множество элементов конечной энергии. Мы имеем

Предложение (10.4.3). Плюккерова координата для при ограничении на орбиту действия превращается в функцию Шура

Следствие (10.4.4). Ограничение инъективно, и его образ плотен. Оно индуцирует изоморфизм подпространств элементов конечной энергии.

Доказательство (10.4.3). Мы должны вычислить значение плюккеровой координаты на пространстве где -элемент вида (10.4.1) из Столбцы -матрицы (10.3.2) образуют базис для но он не является каноническим. Канонический базис — это где есть верхний -блок в Координата равна поэтому где нижний индекс 5, как обычно, обозначает квадратную подматрицу, образованную строками из 5. Формально этот определитель равен

который равен как нам и хотелось. Мы оставляем читателю обоснование формального вычисления с помощью замечания после определения (10.3.3).

Орбита подпространства под действием это связная компонента пространства, которое мы обозначали в гл. 8, т. е. наша грассманова модель пространства петель Это однородное пространство относительно действия связной

компоненты единицы группы Поэтому на пространстве сечений расслоения которое мы отождествили с естественно действует В очевидных обозначениях имеем

Подгруппа действует на сдвигами. Подгруппа тривиально действует на орбите и тривиально действует на слое расслоения таким образом, элемент действует на слое расслоения умножением на где с коммутатор в представителей элементов Итак, действует на умножением на голоморфную функцию

Мы попали в ситуацию, описанную в разд. 9.5. Группа это, в сущности, группа Гейзенберга. Фактически мы можем записать связную компоненту единицы в как где постоянные петли, векторное пространство голоморфных отображений с нулевым средним, отождествленное с подгруппой в с помощью экспоненциального отображения. Кососимметрическая билинейная форма 5 (4.7.5), задающая расширение невырожденна на V, и связная компонента единицы это где V — группа Гейзенберга, ассоциированная с Мы имеем где алгебра Ли группы алгебра Ли группы Экспоненциальное отображение является голоморфным изоморфизмом, и поэтому можно отождествить с Когда это сделано, действие превращается в стандартное представление, описанное в разд. 9.5. Итак,

Предложение (10.4.5). Действие на следовательно, на неприводимо.

Следствие (10.4.6). Действие на неприводимо.

Итак, мы получили, что оказалось представлением группы индуцированным из представления группы Все пространства неразличимы как представления группы , но постоянные петли действуют на умножением на Заметим также, что эквивариантное отображение (единственное, с точностью до умножения на скаляр), полученное действием петли увеличивает энергию на так как переводит плюккерову координату (ср. (7.7.5)). Итак,

Рассмотрим теперь унитарную структуру. Мы знаем из предложения (10.4.3), что гильбертово пространство изоморфно пополнению полиномиального кольца относительно скалярного произведения, алгебраически определенного в разд. 10.3. Оно совпадает со скалярным произведением на симметрической алгебре где А снабжено естественным скалярным произведением

Действительно, определим координатные функции на А, представляя общий элемент виде

(Ср. (10.3.4).) Тогда - это базис в А, двойственный базису в А. Эти базисы ортонормированны относительно формы (10.4.8), и

как и в разд. 10.3. Мы доказали

Предложение (10.4.9). Гильбертово пространство содержащееся в может быть канонически отождествлено с гильбертовым пополнением симметрической алгебры относительно скалярного произведения (10.4.8).

Замечание. Мы могли бы при желании рассматривать как пространство голоморфных функций на подходящем пополнении пространства А, которые квадратично интегрируемы относительно естественной гауссовой меры. Одно из подходящих пополнений пространства А — это двойственное к А пространство А, состоящее из всех голоморфных отображений

граничные значения которых на окружности являются обобщенными функциями и которые удовлетворяют условию

Заканчивая этот раздел, мы должны упомянуть действие на Имеется очевидное действие на которое определено следующим образом: -для и где Для любого комплексного числа X есть также действие, которое получается, если считать элементы из -плотностями», т. е. действие

Давайте временно обозначать с таким действием через Это действие унитарно, если и только если . В любом случае содержится в и поэтому имеется индуцированное проективное представление группы на согласованное с действием

Подпространство не сохраняется группой ни для какого , и поэтому нет причин ожидать, что описание как будет согласовано с действием Однако это группа автоморфизмов группы и группы Гейзенберга , и она действует на с помощью метаплектического представления. В гл. 13 мы увидим, что это действие согласовано с действием, происходящим из