Глава XV. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО

§ 1. ВВЕДЕНИЕ

К концу XVIII — началу XIX в. дифференциальное и интегральное исчисление было в основном разработано. До этого времени (фактически, весь XVIII век) ученые были заняты построением его отдельных разделов, открывали все новые и новые факты, развивали все новые и новые области приложений дифференциального и интегрального исчисления к различным вопросам механики, астрономии, техники. Теперь появилась возможность обозреть полученные результаты, заняться их систематизацией, вникнуть в смысл основных понятий анализа. И вот выясняется, что с основами анализа дело обстоит не совсем благополучно.

Еще в XVIII в. у крупнейших математиков того времени не было единого мнения насчет того, что такое функция. Это приводило к долгим спорам о том, правильно или неправильно то или иное решение задачи, правилен или неправилен тот или иной конкретный математический результат. Постепенно «выяснилось, что и другие основные понятия анализа нуждаются в уточнении. Недостаточно четкое понимание того, что такое непрерывность и каковы свойства непрерывных функций, привело к появлению ряда ошибочных утверждений, например, что непрерывная функция всегда дифференцируема. Математика стала оперировать со столь сложными функциями, что стало уже невозможно ссылаться на очевидность и догадку. Появилась настоятельная необходимость навести порядок в основных понятиях анализа.

Первая серьезная попытка в этом направлении была предпринята Лагранжем, а затем на тот же путь встал Коши. Коши уточнил и ввел во всеобщее употребление сохранившиеся до наших дней определения предела, непрерывности, интеграла. Примерно в то же время чешский математик Больцано провел строгое изучение основных свойств непрерывных функций.

Рассмотрим эти свойства непрерывных функций более подробно. Пусть непрерывная функция задана на некотором отрезке т. е. для всех чисел, удовлетворяющих неравенствам Ранее считалось очевидным, что если на концах отрезка функция принимает

значения разных знаков, то в некоторой промежуточной точке она обращается в нуль. Теперь этот факт получил строгое обоснование. Точно так же было строго доказано, что непрерывная функция, заданная на отрезке, принимает в некоторых точках свое наибольшее и наименьшее значение.

Исследование этих свойств непрерывных функций заставило глубже вникнуть в природу действительных чисел. В результате появилась теория действительных чисел, были четко сформулированы основные свойства числовой прямой.

Дальнейшее развитие математического анализа привело к необходимости рассматривать все более и более «плохие», в частности разрывные, функции. Разрывные функции появляются, например, как пределы непрерывных функций, причем заранее не известно, будет ли предельная функция непрерывной, или нет, а также при схематизации процессов с резким внезапным изменением. Возникла новая задача — обобщение аппарата анализа на разрывные функции.

Риман исследовал вопрос о том, на какие классы разрывных функций распространяется понятие интеграла. В результате всей этой деятельности по обоснованию анализа появилась новая математическая дисциплина: теория функций действительного переменного.

Если классический математический анализ оперирует в основном с «хорошими» (например, непрерывными, дифференцируемыми) функциями, то теория функций действительного переменного изучает значительно более общие классы функций. Если в математическом анализе дается определение какой-либо операции (например, интегрирования) для непрерывных функций, то для теории функций действительного переменного характерно исследование вопроса о том, для какого класса функций применимо это определение, как следует видоизменить определение, чтобы оно стало более широким. В частности, лишь теория функций действительного переменного смогла дать удовлетворительный ответ на вопрос о том, что такое длина кривой и для каких кривых имеет смысл говорить о длине.

Основанием, на котором строится сама теория функций действительного переменного, является теория множеств.

В соответствии с этим мы начинаем наше изложение с рассмотрения элементов теории множеств, затем переходим к изучению точечных множеств и завершаем главу изложением одного из основных понятий теории функций действительного переменного, а именно интеграла Лебега.