Глава XVI. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

§ 1. ПРЕДМЕТ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И ЕЕ АППАРАТ

Линейные функции и матрицы.

Среди функций от одной переменной наиболее простой является так называемая линейная функция Ее графиком является, как известно, простейшая из линий — прямая.

Вместе с тем линейная функция — одна из важнейших. Дело в том, что всякая «гладкая» линия на малом участке похожа на прямую, и чем меньше участок кривой, тем теснее она примыкает к прямой линии. На языке теории функций это значит, что любая «гладкая» (непрерывно дифференцируемая) функция при малом изменении независимой переменной близка к линейной функции. Линейная функция может быть охарактеризована тем, что ее приращение пропорционально приращению независимой переменной. В самом деле: Обратно, если то где Но из дифференциального исчисления мы зяаем, что в приращении любой дифференцируемой функции естественным образом выделяется главная часть, так называемый дифференциал функции, пропорциональный приращению независимой переменной, и приращение функции отличается от ее дифференциала на бесконечно малую более высокого порядка, чем приращение независимой переменной. Таким образом дифференцируемая функция при бесконечно малом изменении независимой переменной действительно близка к линейной функции с точностью до бесконечно малой более высокого порядка.

Аналогично обстоит дело и с функциями от нескольких переменных.

Линейной функцией от нескольких переменных называется функция вида апхп . Если , то линейная функция называется однородной. Линейная функция от нескольких переменных характеризуется следующими двумя свойствами:

1. Приращение линейной функции, вычисленное в предположении, что лишь одна из независимых переменных приобретает некоторое приращение при неизменных значениях для остальных, пропорционально приращепию этой независимой переменной.

2. Приращение линейной функции, вычисленное в предположении, что все независимые переменные получают некоторое приращение, равно алгебраической сумме приращений, получающихся от изменения каждой переменной в отдельности.

Линейная функция от нескольких переменных играет среди всех функций от этих переменных ту роль, что и линейная функция от одной переменной среди всех функций одной переменной. Именно, любая «гладкая» функция (т. е. функция, имеющая непрерывные частные производные по всем переменным) при малом изменении независимых переменных близка к некоторой линейной функции. В самом деле, приращение такой функции равно с точностью до малых высших порядков полному дифференциалу который есть линейная однородная функция от приращений независимых переменных Отсюда следует, что сама функция равная сумме ее начального значения и приращения, выражается через независимые переменные при малом их изменении в виде линейной неоднородной функции с точностью до малых высших порядков.

Задачи, решение которых требует рассмотрения функций от нескольких переменных, возникают в связи с изучением зависимости одной величины от нескольких факторов. Задача называется линейной, если оказывается линейной исследуемая зависимость. На основании указанных выше свойств линейной функции, линейная задача может быть охарактеризована следующими свойствами.

1. Свойство пропорциональности. Результат действия каждого отдельного фактора пропорционален его величине.

2. Свойство независимости. Общий результат действия равен сумме результатов действий отдельных факторов.

То, что любая «гладкая» функция при малых изменениях переменных может быть в первом приближении заменена линейной, есть отражение общего принципа — любая задача об изменении некоторой величины в зависимости от действия нескольких факторов может рассматриваться в первом приближении, при малых воздействиях, как задача линейная, т. e. обладающая свойствами независимости и пропорциональности. Часто оказывается, что такое рассмотрение дает удовлетворительный для практики результат (классическая теория упругости, теория малых колебаний и т. д.).

Изучаемые физические величины часто сами характеризуются несколькими числами (сила — тремя проекциями на оси координат, напряженное состояние упругого тела в данной точке — шестью компонентами так называемого тензора напряжения и т. д.). Поэтому возникает необходимость одновременного рассмотрения нескольких функций от нескольких переменных, а в первом приближении — нескольких линейных функций.

Линейная функция от одной переменной настолько проста по своим свойствам, что не требует никакого специального рассмотрения. Иначе обстоит дело с линейными функциями от нескольких переменных, где наличие многих переменных вносит некоторые специфические особенности. Дело еще более осложняется, если перейти от одной функции нескольких переменных к совокупности нескольких функций от тех же переменных. Здесь в качестве «первого приближения» появляется совокупность линейных функций:

Совокупность линейных функций есть уже довольно сложный математический объект, и его исследование богато интересным и нетривиальным содержанием.

Учение о линейных функциях и их совокупностях и составляет в первую очередь предмет той ветви алгебры, которая называется линейной алгеброй.

Исторически первой задачей линейной алгебры является задача о решении системы линейных уравнений:

Простейший случай этой задачи рассматривается в школьном курсе элементарной алгебры. Задача о приемах возможно более простого и наименее трудоемкого численного решения систем при больших до сих пор привлекает пристальное внимание многих учепых, так как численное решение систем входит как важная составная часть во многие расчеты и исследования.

Линейные однородные функции пиаче называются линейными формами. Данная система линейных форм

описывается системой коэффициентов, так как свойства такой системы форм зависят именно от численных значений коэффициентов, а название переменных не является существенным.

Например, системы форм

обладают, конечно, одинаковыми свойствами и могут не считаться существенно различными.

Совокупность коэффициентов системы линейных форм естественно задавать в виде прямоугольной таблицы

Такие таблицы носят название матриц. Числа называются элементами матрицы. Потребность в рассмотрении матриц с необходимостью возникает из самого предмета линейной алгебры.

Важными частными случаями матриц являются матрицы, состоящие из одного столбца, называемые просто столбцами, матрицы, состоящие из одной строки, называемые строками, и, наконец, квадратные матрицы, т. е. такие, у которых число строк равно числу столбцов. Число строк (или столбцов) квадратной матрицы называется ее порядком. «Матрица» (а), состоящая из одного числа а, отождествляется с этим числом.

В свяии с простейшими действиями над совокупностью линейных форм естественным образом определяются действия над матрицами. Пусть даны две системы линейных форм

и

Сложим эти формы соответственно

Естественно считать, что матрица получившейся системы форм

являктся суммой матриц

Аналогичным образом, произведение матрицы на число с определяется как матрица коэффициентов в системе форм , где — формы, коэффициенты которых

Из этого определения видно, что

Наконец, действие умножения матрицы на матрицу определяется следующим образом. Пусть

и

Подставив в (1) выражения через получим, что выражаются через тоже в виде линейных форм

Матрица коэффициентов называется произведением матриц и обозначается через

Нетрудно подсчитать, как выражаются элементы произведения двух матриц через элементы их сомножителей. Элемент есть коэффициент при в выражении через

Но

Следовательно,

откуда

Итак, элемент строки и столбца произведения двух матриц равен сумме произведений элементов строки первого сомножителя на соответствующие элементы столбца второго сомножителя. Например:

Хотя матрица является, так сказать, «составным» объектом, в состав которого входит много элементов, полезно и удобно обозначать ее одпой буквой, сохраняй при этом для действий сложения и умножения обычные обозначения. Мы будем пользоваться для обозначения матриц большими буквами латинского алфавита. Применение таких сокращенных обозначений вносит простоту и обозримость в теорию матриц, охватывая в кратких формулах, напоминающих формулы обычной алгебры, сложные соотношения, связывающие множество чисел — элементов

матриц, участвующих в этих формулах. Так, например, совокупность линейных форм

в матричных обозначениях выглядит как где А — матрица коэффициентов, X — «столбец», составленный из переменных Система линейных уравнений

записывается как

где А — матрица коэффициентов, X — столбец из неизвестных, В — столбец из свободных членов.

Основные действия над матрицами — действия сложения и умножения — определены, конечно, не всегда. Действие сложения имеет смысл для матриц одинакового строения, т. е. имеющих одинаковое число строк и столбцов. В результате сложения получается матрица того же строения. Действие умножения имеет смысл, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. В результате получается матрица, число строк которой равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов равно числу столбцов второго сомножителя.

Действия над квадратными матрицами подчиняются большей части законов действий над числами, но некоторые законы оказываются нарушенными.

Перечислим основные свойства действий над матрицами:

5. Существует «нулевая» матрица такая, что при любой матрице А.

обратно, если , то или (здесь с — число).

7. Для любой матрицы А существует противоположная матрица —А, т. е. такая, что

Эти свойства имеют место не только для квадратных, но и для любых прямоугольных матриц, с единственной оговоркой, что действия, входящие в каждую из перечисленных формул, должны быть определены. Для квадратных матриц одинакового порядка эта оговорка естественно отпадает.

Приведенные свойства действий аналогичны свойствам действий над числами.

Укажем теперь на две особенности действий над матрицами.

Во-первых, при умножении матриц, даже квадратных, переместительный закон может не иметь места, т. е. не всегда равно ВА. Например:

Во-вторых, известно, что произведение двух чисел равно нулю в том и только в том случае, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Эта теорема является, как известно, основной в теории алгебраических уравнений. При умножении матриц она оказывается неверной. Именно, произведение двух матриц может равняться нулевой матрице, хотя ни один из сомножителей не равен нулевой матрице. Например:

Отметим еще одно свойство умножения матриц. Матрица А будет называться транспонированной к матрице А, если в каждой строке А расположить элементы соответствующего столбца матрицы А с сохранением порядка. Например, для матрицы

транспонированной будет матрица

Действие умножения матриц связано с операцией транспонирования формулой

которая легко проверяется на основании правила умножения матриц.

Теория матриц составляет важную и неотъемлемую часть линейной алгебры, играя роль аппарата при постановке и решении ее задач.