§ 16. ОБЩИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

В предыдущих параграфах была сделана попытка дать понятие о том, как применение алгебраических методов к все расширяющемуся кругу задач привело к расширению систем объектов, изучаемых алгеброй, и к обобщению понятия самих алгебраических операций. Большую роль в этом сыграло развитие аксиоматического метода, вызванное работами Н. И. Лобачевского по основаниям геометрии, а также развитие общей теории множеств.

Одним из основных итогов этого явилось постепенное выкристаллизовывание общих понятий алгебраической операции, алгебраической системы и накопление важнейших фактов, относящихся к определенным алгебраическим системам. Вместо конкретно определяемых в школьной алгебре действий, относящихся большей частью к числам, в современной алгебре исходят из общего понятия действия или операции. Именно, пусть дана некоторая система элементов и дано правило, сопоставляющее каждой системе из элементов взятых в определенном порядке, вполне определенный элемент а той же системы. Тогда говорят, что на системе задана -членная операция и что элемент а есть результат этой операции, выполненной над элементами . Множество элементов, с определенными на нем одной или несколькими операциями, называется алгебраической системой. Одной из основных задач алгебры является изучение и классификация алгебраических систем. Однако в такой форме задача имеет слишком общий характер. На самом деле к настоящему времени оказались действительно важными и обладающими содержательными теориями лишь некоторые специальные алгебраические системы. Так, из систем с. одним действием в глубокую математическую науку разрослась пока лишь теория групп, которой были посвящены §§ 1—10 этой главы, а из систем с двумя и большим числом действий важное значение имеют теории полей, алгебр, колец и структур. Однако число фактически рассматриваемых по тому или иному поводу алгебраических систем непрерывно растет. В то же время некоторые классические разделы алгебры, как, например, учение о гомоморфизмах, о свободных системах и свободных объединениях, о прямых объединениях, а в последнее время и учение о радикале оказались перенесенными в общую теорию алгебраических систем. Это позволяет говорить об этой теории как о новом отделе алгебры.

Рассматривая характер алгебраической науки в делом, часто подчеркивают как отличительную ее особенность отсутствие или подчиненность понятия непрерывности, признавая тем самым алгебру наукой по преимуществу о дискретном. Такой взгляд, несомненно, отражает одну из важных объективных особенностей алгебры. В реальном мире прерывное и непрерывное находится в диалектическом единстве. Но чтобы познать действительность, иногда необходимо ее рассечь на части и изучать эти части порознь. Поэтому одностороннее внимание алгебры к дискретным соотношениям нельзя рассматривать как ее недостаток.

На примере теорий групп видно, что отдельные алгебраические дисциплины дают не только средства для технических вычислений, но и язык для выражения глубоких законов природы. Однако, помимо непосредственного практического значения ряда разделов алгебры для физики, химии, кристаллографии и других наук, в самой математике алгебра занимает одно из важных мест. По словам замечательного советского алгебраиста Н. Г. Чеботарева, алгебра была колыбелью многих новых идей и понятий, возникших в математике, и в значительной степени оплодотворяла развитие таких разделов математики, которые служат уже непосредственной базой физических и технических наук.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)