Взаимно однозначные преобразования.

При рассмотрении всевозможных преобразований одного и того же множества прежде всего замечается фундаментальное различие между взаимно однозначными отображениями множества на себя и отображениями не взаимно однозначными. Преобразование А множества М называется взаимно однозначным отображением этого множества на себя, если не только каждому элементу множества М отвечает определенный единственный элемент множества М, — это содержится в определении преобразования, — но если также для каждого элемента у множества М существует один и только один элемент х, который переходит в элемент у. Иными словами, преобразование А является взаимно однозначным, если «уравнение» для каждого у из М имеет одно и только одно «решение» х в М.

Все рассмотренные выше преобразования пространств — отражения, повороты и переносы — являются взаимно однозначными, так как при этом не только для каждой точки X существует точка, в которую X переходит, но также существует единственная точка, которая переходит в X.

Легко привести и противоположные примеры; так, преобразование множества чисел 1, 2, 3, 4, заданное таблицей Является взаимно однозначным, так как при нем в число 4 ничто не переходит. Преобразование множества всех натуральных чисел заданное таблицей также не является взаимно однозначным. Хотя здесь для каждого числа имеется число которое в него переходит, но число не единственное, обладающее этим свойством, поскольку также переходит в Вообще для преобразований, заданных таблицами, очень легко установить признак, при котором преобразования будут взаимно однозначными. Для этого, очевидно,

необходимо и достаточно, чтобы в нижней строке таблицы встречался каждый элемент множества и притом только один раз.

Иногда в математике рассматривают и не взаимно однозначные преобразования. Например, известно, какое большое значение имеет операция проектирования пространства на плоскость. Это преобразование не взаимно однозначное, так как при нем в каждую точку проектируется не одна, а целый ряд точек пространства. Но в большинстве случаев приходится иметь дело лишь с взаимно однозначными преобразованиями; эти преобразования, в частности, играют основную роль, когда рассматриваются физические процессы, при которых элементы изучаемой системы не сливаются друг с другом, не уничтожаются и не возникают.

В дальнейшем, говоря о преобразованиях, мы будем подразумевать преобразования взаимно однозначные; их часто называют также подстановками, особенно в случаях, когда речь идет о преобразованиях конечного множества.

Для каждого (взаимно однозначного) преобразования А множества М на себя легко определить обратное преобразование Если преобразование А переводит произвольный элемент х множества М в элемент у, то преобразование, переводящее элемент у в называется обратным преобразованию А и обозначается Например, если пространства вокруг оси на угол , то — поворот вокруг той же оси на угол в противоположном направлении, и т. д.

Иногда может случиться, что обратное преобразование будет совпадать с данным. Таким свойством, в частности, обладают отражения относительно плоскости или точки в пространстве. Тем же свойством обладает подстановка Так как

Заметим, что говорить об обратном преобразовании для преобразований не взаимно однозначных нельзя, так как эти преобразования в отдельные элементы могут или ничего переводить или переводить несколько элементов.