n-мерное эвклидово пространство.

В предыдущем изложении еще не были обобщены некоторые важные понятия обычного векторного пространства, в частности понятия длины вектора и угла между векторами. Известно, что в аналитической геометрии в вопросах, касающихся пересечения прямых и плоскостей, параллельности и многих эти понятия и не используются. Свойства пространства, описание которых не нуждается в понятиях длины вектора и угла, могут быть охарактеризованы как свойства, не нарушающиеся при любых аффинных преобразованиях [см. главу III (том 1), § 11]. По этой причине линейные пространства, в которых не определены понятия длины вектора, называются аффинными пространствами.

Однако многие задачи математики требуют обобщения понятий длины вектора и угла на -мерные пространства. Эти обобщения производятся посредством аналогий с теорией векторов на плоскости и в пространстве.

Рассмотрим сначала действительное пространство строк. Длина вектора считается, по определению, равной числу Это совершенно естественно, так как при именно по этой формуле вычисляется длина вектора через его координаты относительно декартовых осей координат.

Понятие угла между векторами вводится естественным способом из следующих соображений. На плоскости и в пространстве угол между векторами X и Y есть угол при вершине А в треугольнике со сторонами

Для -мерного пространства естественно принять это за определение угла между векторами, т. е. как бы считать, что пару векторов можно «извлечь» из -мерного пространства и «положить» на плоскость с сохранением их длин и угла между ними. Однако в таком определении имеется нестрогость: существование треугольника с длинами векторов нуждается в доказательстве.

Пренебрегая этой неточностью, выведем формулу для вычисления угла. По известной формуле тригонометрии

откуда

Если, как и для трехмерного пространства, для произведения длин векторов на косинус угла между ними сохранить термин «скалярное произведение», то мы получим, что скалярное произведение векторов вычисляется по формуле

которая при совпадает с известной формулой для скалярного произведения обычных векторов.

Строго говоря, выражение нужно принять за определение скалярного произведения (ибо в определении скалярного произведения при помощи угла была допущена иестрогость), а затем определить угол между векторами по формуле

Так мы сделаем.

Для законности такого определения угла необходимо доказать, что правая часть формулы (3) по абсолютной величине не превосходит 1, т. е. что

В развернутой форме это неравенство имеет вид

Оно носит название неравенства Коши—Буняковского и может быть доказано непосредственным, но довольно громоздким вычислением. Мы докажем его путем следующего косвенного рассуждения.

Прежде всего отметим, что скалярное умножение векторов обладает следующими свойствами:

Выполнение этих свойств непосредственно следует из выражения скалярного произведения через координаты.

Введем теперь в рассмотрение вектор , где I — любое действительное число. Имеем ибо квадрат длины вектора не может быть отрицательным. Но в силу свойств скалярного произведения

ведения Далее известпо, что квадратный трехчлен может оставаться неотрицательным при всех значениях действительной переменной I только в том случае, если его корни мнимые или равные, т. е. если его дискриминант отрицателен или равен нулю. Но дискриминант трехчлена равен и, следовательно, что равносильно неравенству Коши—Буняковского.

Из доказанного неравенства вытекает, что следовательно, олредсление угла по формуле (3) законно.

Далее, легко выводятся неравенства

из которых, в частности, следует существование треугольника со сторонами так что данное выше нестрогое, но геометрически наглядное определение угла также приобретает законную силу.