§ 9. РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ

1. Изложенная выше идея о том, что любую непрерывную совокупность однородных явлении можно трактовать как своего рода пространство, была впервые высказана Риманом в его лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», прочитанной в Геттингенском университете в 1854 г. Это была пробная лекция, нечто вроде доклада или диссертации, которую поступающий на должность доцента или профессора должен был читать перед факультетом. В своей лекции Риман наметил в общих чертах без выкладок и математических доказательств исходные идеи обширной геометрической теории, называемой теперь римановой геометрией. Говорят, что никто из слушателей ее не понял, кроме старого уже тогда Гаусса. Формальный аппарат теории Риман изложил в другой работе в применении к задаче теплопроводности, так что абстрактная риманова геометрия рождалась в тесной связи с математической физикой. Идеи Римана были следующим после Лобачевского решающим шагом в развитии геометрии. Однако работы Римана не были сразу оценены должным образом. Его лекция и работа о теплопроводности были опубликованы лишь в 1868 г., после его смерти. Стоит отметить, что в 1868 г. появилось первое истолкование геометрии Лобачевского, данное Бельтрами, а в 1870 г. — ее второе истолкование, данное Клейном. В 1872 г. Клейн формулирует общий взгляд на различные геометрии: эвклидову, Лобачевского, проективную, аффинную и др., как на учение о свойствах фигур, не изменяющихся при преобразованиях из той или иной группы. В те же годы окончательно укрепляется в математике многомерная геометрия. Таким образом, 70-е годы XIX в. были тем переломным моментом в истории геометрии, когда новые геометрические идеи, складывавшиеся в течение предшествующих пятидесяти лет, наконец были поняты широким кругом математиков и прочно вошли в науку. Тогда работы Римана были продолжены, а к концу прошлого столетия риманова геометрия уже достигла значительного развития и нашла приложения в механике и физике. Когда же в 1915 г. Эйнштейн в своей общей теории относительности применил риманову геометрию к теории всемирного тяготения, это привлекло к римановой геометрии особое внимание, и в результате последовало ее бурное развитие и разнообразные обобщения.

2. Идеи Римана, имеющие столь блестящее продолжение, оказываются достаточно простыми, если отвлечься от математической разработки и обратить внимание лишь на их основную сущность. Такая простота свойственна собственно всем большим идеям. Не была ли проста идея Лобачевского, рассматривать выводы из отрицания V постулата как некоторую возможную геометрию? Не проста ли идея эволюции организмов или идея атомного строения вещества? Все это просто и вместе с тем очень сложно, ибо новые идеи, во-первых,

должны прокладывать себе широкую дорогу, а не укладываться в сложившиеся рамки, а во-вторых, их многостороннее обоснование, развитие и применение требуют массы труда, изобретательности и невозможны без специального аппарата науки. Для римановой геометрии таким аппаратом служат ее формулы; они сложны и потому доступны лишь специалистам. Но мы не будем думать о сложных формулах, а обратимся к сущности идей Римана. Как уже сказано, Риман начинает с рассмотрения любой непрерывной совокупности явлений как своего рода пространства. В этом пространстве координатами точки являются величины, определяющие соответствующее явление среди других, как, например, интенсивности х, определяющие цвет Если таких величин скажем то говорим об -мерном пространстве. В этом пространстве можно рассматривать линии и ввести измерение их длин малыми (бесконечно малыми) шагами, подобно измерению длины кривой в обычном пространстве.

Для того чтобы мерить длины бесконечно малыми шагами, достаточно задать закон, определяющий расстояние от любой данной точки до любой к ней бесконечно близкой. Этот закон определения (измерения) расстояний называют мероопределением или метрикой. Самый простой случай, — когда этот закон оказывается тем же, что в эвклидовом пространстве. Такое пространство будет эвклидовым в бесконечно малом. Иными словами, геометрические соотношения эвклидовой геометрии будут в нем выполняться, но лишь в каждой бесконечно малой области; правильнее сказать, они выполняются в любой достаточно малой области, но не точно, а с точностью тем большей, чем меньше область. Пространство, в котором расстояния измеряются по такому закону, называют римановым; геометрию же таких пространств называют римановой. Риманово пространство есть, следовательно, пространство, являющееся эвклидовым «в бесконечно малом».

Простейший пример риманова пространства представляет любая гладкая поверхность с ее внутренней геометрией. Внутренняя геометрия поверхности есть риманова геометрия двух измерений. Действительно, вблизи каждой своей точки гладкая поверхность мало отличается от касательной плоскости, и это отличие тем меньше, чем меньшую область поверхности мы рассматриваем. Поэтому и геометрия в малой области поверхности мало отличается от геометрии на плоскости; чем область меньше, тем меньше это отличие. Однако в больших областях геометрия кривой поверхности оказывается отличной от эвклидовой, как это было выяснено в § 4 главы VII (том 2) и как это легко видеть на примерах шара или псевдосферы. Риманова геометрия есть не что иное, как естественное обобщение внутренней геометрии поверхности с двух измерений на любое число Подобно поверхности, рассматриваемой лишь с точки зрения ее внутренней геометрии, трехмерное риманово пространство, будучи эвклидовым

в малых областях, в больших областях может отличаться от эвклидова. Например, длина окружности может не быть пропорциональной радиусу; она будет с хорошим приближением пропорциональной радиусу лишь для малых окружностей. Сумма углов треугольника может не равняться двум прямым (при этом в построении треугольника роль прямолинейных отрезков играют линии кратчайшего расстояния, т. е. линии, имеющие наименьшую длину среди всех линий, соединяющих данные точки).

Можно представить себе, что реальное пространство оказывается эвклидовым лишь в областях, небольших в сравнении с астрономическими масштабами. Чем меньше область, тем точнее выполняется эвклидова геометрия, но можно думать (и так оно и оказывается), что в очень больших масштабах геометрия уже несколько отлична от эвклидовой. Эту идею, как мы знаем, выдвинул еще Лобачевский. Риман обобщил ее, допуская мысль о любой геометрии, эвклидовой в бесконечно малом, а не только о геометрии Лобачевского, которая оказывается частным случаем римановой геометрии.

Из сказанного видно, что риманова геометрия возникла на основе синтеза и обобщения трех идей, выдвинутых развитием геометрии. Первой явилась идея о возможности геометрии, отличной от эвклидовой; второй было понятие о внутренней геометрии поверхностей третьей — понятие о пространстве любого числа измерений.

3. Для того чтобы уяснить, как математически определяется риманово пространство, вспомним прежде всего закон измерения расстояний в эвклидовом пространстве.

Если на плоскости ввести прямоугольные координаты то по теореме Пифагора расстояние между двумя точками, координаты которых отличаются на выражается формулой

В трехмерном пространстве аналогично

В -мерном же эвклидовом пространстве расстояние определяют общей формулой

Отсюда легко заключить, как нужно задавать закон измерения расстояний в римановом пространстве. Закон этот должен совпадать с эвклидовским, но лишь в бесконечно малой области вблизи каждой точки. Это приводит к следующей формулировке этого закона.

Риманово -мерное пространство характеризуется тем, что вблизи любой его точки А можно ввести координаты так, чтобы расстояние от точки А до бесконечно близкой точки X выражалось формулой

где бесконечно малые разности координат точек А и X. Точнее это можно выразить иначе, а именно: расстояние от точки А до любой близкой точки X выражается той же формулой, что в эвклидовой геометрии, но лишь с некоторой точностью, которая тем выше, чем ближе точка X к точке А, т. е.

где — величина малая в сравнении с первым слагаемым и притом тем меньшая, чем меньше разности координат

Это и есть точное математическое определение римановой метрики и риманова пространства. Отличие римановой метрики, т. е. закона измерения расстояний, от эвклидовой состоит в том, что такой закон имеет место только вблизи каждой данной точки. Кроме того, координаты, в которых он так просто выражается, приходится брать разные для разных точек. Отличие общей римаиовой метрики от эвклидовой мы еще уточним дальше.

То, что риманово пространство совпадает в бесконечно малом с эвклидовым, позволяет определить в нем основные геометрические величины, подобно тому как это делается во внутренней геометрии поверхностей посредством приближения бесконечно малого куска поверхности плоскостью (том 2, глава VII, § 4). Например, бесконечно малый объем выражается так же, как в эвклидовом пространстве. Объем конечной области получается суммированием бесконечно малых объемов, т. е. интегрированием дифференциала объема. Длина кривой определяется суммированием бесконечно малых расстояний между ее бесконечно близкими точками, т. е. интегрированием вдоль кривой дифференциала длины Это и есть строгое аналитическое выражение того, что длина определяется откладыванием малого (бесконечно малого) масштаба вдоль кривой. Угол между кривыми, исходящими из одной точки, определяется точно так же, как в эвклидовом пространстве. Далее, в -мерном римановом пространстве можно задавать поверхности разного числа измерений от 2 до При этом легко доказывается, что каждая такая поверхность представляет в свою очередь некоторое риманово пространство соответствующего числа измерений, совершенно подобно тому, как поверхность в обычном эвклидовом пространстве оказывается двумерным римановым пространством.

Доказано также, что риманово пространство всегда может быть представлено поверхностью в эвклидовом пространстве достаточно большого числа измерений, именно: для всякого -мерного риманова пространства найдется в -мерном эвклидовом пространстве -мерная поверхность, которая с точки зрения ее внутренней геометрии не отличается от этого риманова пространства (по крайней мере в данной ее ограниченной части).

4. Для того чтобы действительно получить в римановой геометрии аналитические выражения разных геометрических величин, нужно прежде всего дать общее выражение для закона измерения длин в римановом пространстве, не связанное специально с особыми для каждой точки координатами. Ведь формула (12) имеет место для каждой точки А при специальном для этой точки выборе координат, так что при переходе от одной точки к другой нужно менять и сами координаты, а это, конечно, неудобно. Избавиться от этого, оказывается, легко, именно можно доказать следующее.

Пусть в какой-либо области риманова пространства введены какие угодно координаты Тогда «бесконечно малое расстояние», или, как говорят, «элемент длины» от точки А с координатами до точки X с координатами выражается формулой

где коэффициенты являются функциями координат точки А.

Выражение, стоящее в последней формуле справа, называется квадратичной формой относительно дифференциалов координат . В развернутом виде она пишется так:

Так как то второй и третий члены удобно считать одинаковыми: и вообще это возможно, поскольку важна только их сумма

Квадратичная форма (13) положительна, так как, очевидно, , кроме того случая, когда все дифференциалы равны нулю.

Имеет место также обратное. Именно, если в -мерном пространстве, где введены координаты задать элемент длины формулой (13) с тем условием, что стоящая там квадратичная форма положительна (т. е. всегда больше нуля, кроме того случая, когда все

то пространство будет римаповым. Иными словами, вблизи каждой точки А можно будет ввести новые специальные координаты так, что в новых координатах в этой точке элемент длины будет выражаться простой формулой (12)

Таким образом, риманова метрика (т. е. определение длин, эвклидовское в бесконечно малом) может задаваться любой положительной квадратичной формой (13) с коэффициентами являющимися функциями координат Таков общий метод задания римановой метрики.

Кривая в римановом пространстве задается тем, что все координат точки меняются в зависимости от одного параметра изменяющегося в некотором промежутке

Длина кривой выражается интегралом

В случае кривой, заданной уравнениями (14),

поэтому

Так как являются известными функциями координат , а эти последние зависят известным образом от по формулам (14), то в формуле (15) под знаком интеграла стоит вполне определенная для данной кривой функция от I. Стало быть, интеграл от нее имеет определенное значение, и тем самым кривая имеет определенную длину.

Длина кратчайшей из кривых, соединяющих две данные точки А, В, принимается за расстояние между этими точками. Сама эта кривая — геодезическая — играет роль аналога прямолинейного отрезка . Можно доказать, что в малой области любые две точки соединяются единственной кратчайшей линией. Сама задача нахождения геодезических (кратчайших) линий есть задача о придании минимума интегралу (15). Это есть задача вариационного исчисления, с которым читатель мог познакомиться в главе VIII (том 2). Стандартное применение методов вариационного исчисления позволяет вывести дифференциальное уравнение, определяющее геодезические

линии, и установить их общие свойства для любого риманова пространства.

Докажем высказанное ранее основное утверждение, что риманова метрика в любых координатах задается общей формулой (13).

Пусть в некоторой области риманова пространства введены какие-либо координаты Возьмем в этой области произвольную точку А, и пусть — те специальные для точки А координаты, в которых элемент длины в этой точке выражается формулой (12) или, что то же самое,

Координаты выражаются через координаты какими-то формулами

Тогда

и аналогично для Подставим эти выражения в формулу (16). Тогда, возводя правые части в квадрат и объедивяя члены с получим выражение вида

где коэффициенты как-то выражаются через частные производные (вид этих выражений для нас несущественен). Но это и есть не что иное, как формула (13), написанная в развернутом виде, и тем самым наше утверждение доказано.

Докажем теперь, что, обратно, формула (13) определяет риманову метрику, т. е. что при специальном для каждой точки выборе координат ее можно привести к простому виду (16). Пусть

причем являются функциями координат и стоящая справа квадратичная форма положительна. Возьмем какую-либо точку А и рассмотрим данную форму только в этой точке. Тогда коэффициенты оказываются данными числами, а переменными, от которых зависит форма, будут Из алгебры известно, что всякую положительную квадратичную форму (с любыми численными коэффициентами) можно путем линейного преобразования переменных привести к сумме квадратов (см. главу т. е. существует такое преобразование

что после подстановки этих выражений в формулу (13) получим

Если мы сделаем замену координат на по формулам

то дифференциалы выразятся через дифференциалы как раз по формулам (17). Стало быть, такая замена координат решает поставленную задачу: в координатах в выбранной нами точке квадрат дифференциала выражается в простом «эвклидовском» виде (10). Тем самым доказано, что общая формула (13) действительно задает риманову метрику.

5. Эвклидово пространство есть простейший частный случай риманова пространства. Важной задачей римановой геометрии было дать аналитическое выражение отличия общего риманова пространства от эвклидова, определить, так сказать, меру неэвклидовости риманова пространства. Этой мерой служит так называемая кривизна пространства.

Нужно прежде всего подчеркнуть, что понятие о кривизне пространства вовсе не связано с представлением о том, что пространство находится в каком-либо высшем объемлющем лространстве, где оно как-то искривлено. Кривизна определяется внутри самого данного пространства и выражает его отличие от эвклидова в смысле его внутренних геометрических свойств. Это нужно ясно понимать, чтобы не связывать понятие о кривизне пространства ни с чем посторонним. Когда говорят, что наше реальное пространство имеет кривизну, это значит лишь, что его геометрические свойства отличны от свойств эвклидова пространства. Но это вовсе не означает, что наше пространство лежит в каком-то высшем пространстве, где оно как-то искривлено. Такое представление не имеет никакого отношения к применению римановой геометрии к реальному пространству, а принадлежит области спекулятивных фантазий.

Понятие кривизны риманова пространства обобщает на измерений понятие гауссовой кривизны поверхности. Как было сказано в § 4 главы VII (том 2), гауссова кривизна служит мерой отклонения внутренней геометрии поверхности от геометрии на плоскости и может рассматриваться с чисто внутренне-геометрической точки зрения. Она

есть не что иное, как кривизна того двумерного риманова пространства, которое представляет собою данная поверхность.

Напомним для примера две формулы внутренней геометрии, в которые входит гауссова кривизна. Пусть на поверхности вблизи какой-либо точки О имеется малый треугольник, стороны которого — геодезические линии; пусть его углы будут , а площадь Величина выражает отличие суммы его углов от суммы углов треугольника на плоскости.

Если треугольник стягивается к точке О, то отношение — к его площади а стремится к гауссовой кривизне К в точке О. Иными словами, для малого треугольника

где когда треугольник стягивается к точке О. Это как раз показывает, что гауссова кривизна К служит мерой отличия суммы углов треугольника на поверхности от суммы углов треугольника на плоскости.

Рассмотрим еще малую окружность на поверхности с центром в точке О (т. е. геометрическое место точек, равноудаленных от О в смысле расстояния по поверхности). Если — радиус окружности, — ее длина, то

где К — опять гауссова кривизна в точке О, а обозначает величину, малую по сравнению с

Здесь гауссова кривизна выступает как мера отклонения длины малой окружности от величины которой она равна в эвклидовой геометрии.

Аналогичную роль играет кривизна риманова пространства. Она может быть определена, например, следующим образом. В данном римановом пространстве проводится гладкая поверхность образованная геодезическими линиями, проходящими через данную точку О. Гауссова кривизна этой поверхности и принимается за кривизну пространства в точке О в направлении поверхности Вообще говоря, эта кривизна будет различной не только в разных точках О, но и для разных геодезических поверхностей проходящих через одну и ту же точку О. Кривизна пространства в данной точке не характеризуется, стало быть, одним числом. Еще Риман ввел общий закон, связывающий кривизны разных поверхностей F в одной и той же точке. Благодаря этим связям кривизна в точке вполне характеризуется некоторой системой чисел — так называемым тензором кривизны.

Однако мы не можем вдаваться здесь в объяснения по этому поводу, так как это потребовало бы привлечения большого математического аппарата. Важно усвоить только, что кривизна есть мера неэвклидовости риманова пространства; она определяется внутри него самого как мера отклонения его метрики от метрики эвклидова пространства. Она определяет, например, отличие суммы углов треугольника от к и отличие длины окружности от . В разных точках она имеет, вообще говоря, различные значения, но и в одной точке она задается не одним числом, а некоторой системой чисел.

Риманово пространство может не быть однородным по своим свойствам, и тогда в нем невозможно свободное движение фигур без изменения расстояний между их точками. Встает вопрос о тех римановых пространствах, в которых свободное движение фигур возможно и притом с тем же числом степеней свободы, что и в эвклидовом пространстве. Это будут наиболее однородные римановы пространства.

Оказывается, что эвклидово пространство есть однеродное пространство без кривизны (пространство нулевой кривизны). Другой тип однородного пространства представляет пространство Лобачевского, так что геометрия Лобачевского, так же как геометрия Эвклида, оказывается частным случаем общей римановой геометрии.

Вообще римановы пространства, в которых возможно свободное движение фигур, — это пространства постоянной кривизны: в них кривизна имеет одно и то же значение во всех точках и для всех геодезических поверхностей. (Вместо «тензора кривизны», меняющегося от точки к точке, она задается на этот раз одним числом, общим для всех точек.) Пространство нулевой кривизны будет эвклидовым, пространство отрицательной кривизны — пространством Лобачевского; пространство положительной кривизны имеет ту же геометрию, что и -мерная сфера в -мерном эвклидовом пространстве.

6. Приложения римановой геометрии не заставили себя долго ждать. Сам Риман, как мы уже говорили, применил ее формальный аппарат к решению задач теплопроводности, но это было пока применение лишь ее формул, а не идеи абстрактного пространства с эвклидовским измерением расстояний в бесконечно малых областях. Такое приложение было дано к цветному пространству, где расстояние между близкими цветами стали выражать, пользуясь римановой метрикой; пространство цветов стали трактовать как особое трехмерное риманово пространство.

Появилось также важное приложение римановой геометрии в механике. Чтобы поиять его сущность, рассмотрим сначала движение точки по поверхности. Представим себе материальную точку, например дробинку, которая может свободно двигаться по некоторой гладкой поверхности, но не покпдает эту поверхность. Точка как бы движется в самой поверхности. На поверхности можно ввести какие-либо координаты

тогда движение точки вполне определяется зависимостью этих ее координат от времени, а скорость — скоростями изменения координат, т. е. их производными по времени Получается, что точка как бы движется в двумерном пространстве, но это пространство не эвклидово, а имеет свою геометрию — внутреннюю геометрию поверхности. Законы движения можно преобразовать так, чтобы в них входили только координаты точки на поверхности, их первые и вторые производные.

Если на точку действует сила, то ее составляющая, перпендикулярная поверхности, погашается сопротивлением — реакцией поверхности и остается лишь составляющая, касательная к поверхности; она действует уже только вдоль поверхности. Таким образом, и силы, действующие на точку, можно считать действующими в самой поверхности. Внутренняя геометрия поверхности есть частный случай римановой геометрии. Поэтому движение точки по поверхности есть движение в двумерном римановом пространстве. Законы ее движения имеют тот же характер, что обычные законы движения, с той лишь разницей, что в них учитывается внутренняя геометрия поверхности. Это становится особенно ясным из следующего факта, упоминавшегося в § 4 главы VII (том 2): точка, движущаяся на поверхности по инерции и без трения, движется по геодезической линии с постоянной скоростью. Так как геодезические линии играют на поверхности роль прямых, то указанный факт аналогичен закону инерции; это — тот же закон инерции, но для движения на поверхности или, абстрактно, для движения в двумерном римановом пространстве.

Конечно, в этом абстрактном представлении пока не видно никаких преимуществ, поскольку речь идет все же о движении по обычной поверхности.

Выгода этой абстрактной точки зрения обнаружится сразу, когда мы перейдем к механическим системам, расположение которых задается более чем двумя величинами. Тогда изображение их движения движением точки на поверхности станет невозможным. С таким обстоятельством мы уже встречались в § 7, когда говорили о том, как графические методы перерастают в абстрактное представление о многомерном пространстве.

Итак, пусть имеется механическая система, конфигурация которой, т. е. расположение ее частей, задается величинами Если речь идет о системе из нескольких материальных точек, то расположение их определяется заданием всех их координат, по три на каждую точку. Другим примером может служить волчок (колесо, вращающееся на оси, которая сама может вращаться вокруг неподвижной точки). Поворот волчка вокруг оси задается углом поворота, а наклон оси — двумя углами, которые она образует с двумя данными

направлениями. Получается всего три величины, определяющие положение такого волчка (рис. 32).

Каждую конфигурацию — расположение частей системы — можно мыслить как «точку» пространства всех возможных, ее конфигураций. Это будет так называемое конфигурационное пространство системы. Число его измерений равно числу величин определяющих конфигурацию. Эти величины служат координатами «точки» в конфигурационном пространстве. Для системы, скажем, из трех материальных точек получим по три координаты у трех точек — всего девять координат. Для случая волчка имеем три координаты — три угла, так что конфигурационное пространство волчка трехмерно.

Движение системы представляется движением точки в конфигурационном пространстве. Скорость этого движения определяется скоростями изменения координат

Рис. 32.

О таких пространствах в связи с их топологической структурой еще будет идти речь в главе XVIII. Здесь же мы хотим подчеркнуть, что в конфигурационном пространстве можно ввести специальный закон измерения расстояний, тесно связанный с механическими свойствами системы. Именно, если кинетическая энергия системы выражается формулой

где - скорость изменения соответствующей координаты, то квадрат бесконечно малого расстояния задается формулой

Таким образом, конфигурационное пространство становится римановым пространством. При этом движение системы не только представляется движением точки в конфигурационном пространстве, но и самые уравнения, описывающие движение системы, совпадают с уравнениями движения этой точки; словом, механика системы изображается как механика точки в конфигурационном пространстве. В частности, движение системы по инерции, т. е. без воздействия сил

(подобно свободному вращению волчка), представляется равномерным движением точки по геодезической линии в этом пространстве.

Это изображение оказывается в ряде случаев полезным, и им, как и некоторыми его обобщениями и видоизменениями, пользуются в теоретической механике.

Таким образом, риманова геометрия находит себе применение как метод абстрактно-геометрического описания физических явлений. Это описание вовсе не произвольно и не является игрой математического ума, оно отражает реальные закономерности рассматриваемых явлений, но отражает их в абстрактной форме. Такова, однако, природа всякого математического описания физических явлений. Такова же природа всякого применения абстрактной геометрии. Разница состоит лишь в том, что здесь применяются более сильные, более тонкие абстракции, но сущность остается той же самой.

Наиболее блестящее приложение риманова геометрия нашла в теории относительности. Но об этом мы будем говорить в следующем параграфе, потому что здесь речь идет о важном и трудном вопросе отношения абстрактной геометрии к свойствам реального пространства.

7. За последние 30 лет геометрия различных неэвклидовых пространств подверглась значительному развитию и обобщениям в разных направлениях. Возникли новые теории, в которые риманова геометрия была включена как частный случай. Первой из них была так называемая фипслерова геометрия, идея которой восходит еще к Риману; затем — общая теория пространств крупнейшего французского геометра Э. Картана, соединившего римапову геометрию с Эрлангенской программой Клейна, и другие теории. Не имея возможности говорить об этих новейших направлениях геометрии, заметим только, что они разрабатываются в основном посредством специально приспособленного для них аналитического аппарата. В развитии этих новых направлений участвует группа советских геометров; тут можно было бы назвать новую «поли-метрическую» геометрию, созданную П. К. Рашевским, исследования В. В. Вагнера, простирающиеся от наиболее общих проблем теории кривых пространств до приложений неэвклидовой геометрии в механике, и др.