Группы симметрий бесконечных плоских фигур.

Нахождение всевозможных групп Симметрий бесконечных плоских фигур — задача более сложная. Конечно, практически нам никогда не бывает дана вся бесконечная плоскость. Однако кусок плоскости часто бывает покрыт столь мелкими фигурами, что сам кусок представляется по сравнению с ними бесконечно большим. Например, гладко отшлифованная плоскость куска стали оказывается покрытой узорами микроскопических размеров. Правильность этих узоров свидетельствует о внутренней однородности структуры металла.

Другим примером могут служить росписи стен и тканей повторяющимися фигурами. Искусство такой росписи — искусство орнамента — широко развито у большинства народов, начиная с древнейших времен и кончая нашими днями. На рис. 19 дан образец египетской росписи потолка, восходящей к середине второго тысячелетия до нашей эры.

Уже для групп симметрий конечных фигур мы были принуждены отдельно рассматривать случаи 1, 2, 3, 5, когда группа симметрий не содержит поворотов на сколь угодно малый угол, и случаи 4, 6, когда в группе есть такие повороты. При изучении групп симметрий бесконечных фигур, особенно в пространственном случае, это разделение на дискретные группы и группы со сколь угодно малыми преобразованиями приобретает еще большее значение. Поэтому мы сначала более точно проведем разграничение между этими случаями.

Группа движений плоскости называется дискретной, если каждую точку плоскости можно окружить таким кругом, что каждое движение из группы либо оставляет данную точку неподвижной, либо выводит ее сразу за пределы взятого круга.

Как и выше, можно найти все дискретные группы движений плоскости. Все эти группы являются группами симметрий плоских фигур. Здесь естественно различаются три типа дискретных групп симметрий:

I. На плоскости существует точка, остающаяся неподвижной при всех преобразованиях симметрии. Этот тип содержит перечисленные выше группы

II. На плоскости не существует неподвижной точки, но существует прямая, совмещающаяся с собой при всех преобразованиях группы. Эта прямая называется осью группы. Группы симметрий этого типа имеют орнаменты, вытянутые в виде бесконечной полосы (бордюры). Таких групп существует всего семь:

1. Группа симметрий состоящая только из переносов на расстояния, кратные некоторому отрезку а.

2. Группа получающаяся из присоединением вращения на 180 относительно одной из точек оси группы.

3. Группа получающаяся из присоединением отражения относительно прямой, перпендикулярной к оси группы.

4. Группа получающаяся из присоединением отражения относительно оси.

5. Группа получающаяся из присоединением переноса на отрезок у соединенного с отражением относительно оси.

6. Группа получающаяся из присоединением отражения относительно некоторой прямой, перпендикулярной оси группы.

Таблица 2

7. Группа получающаяся из присоединением отражения относительно некоторой прямой, перпендикулярной к оси группы.

Табл. 2 дает схемы «бордюров», соответствующих каждой из групп

Таблица 3

III. На плоскости не существует ни точки, ни прямой, совмещающихся с собой при всех преобразованиях группы. Группы этого типа называются плоскими федоровскими группами. Они являются группами симметрий бесконечных плоских орнаментов. Их существует всего 17:

пять состоит только из движений 1-го рода, двенадцать — из движений 1 и 2-го рода.

В табл. 3 даны схемы орнаментов, соответствующих каждой из 17 плоских федоровских групп; при этом каждая группа состоит из тех и только тех движений, которые любой флаг, начерченный на чертеже, переводят в любой другой флаг того же чертежа.

Интересно отметить, что мастера орнамента практически открыли орнаменты со всеми возможными группами симметрий; на долю теории групп выпало лишь доказать отсутствие других видов.