Главная > Математика. Ее содержание, методы и значение. Том 3
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Группы симметрий бесконечных плоских фигур.

Нахождение всевозможных групп Симметрий бесконечных плоских фигур — задача более сложная. Конечно, практически нам никогда не бывает дана вся бесконечная плоскость. Однако кусок плоскости часто бывает покрыт столь мелкими фигурами, что сам кусок представляется по сравнению с ними бесконечно большим. Например, гладко отшлифованная плоскость куска стали оказывается покрытой узорами микроскопических размеров. Правильность этих узоров свидетельствует о внутренней однородности структуры металла.

Другим примером могут служить росписи стен и тканей повторяющимися фигурами. Искусство такой росписи — искусство орнамента — широко развито у большинства народов, начиная с древнейших времен и кончая нашими днями. На рис. 19 дан образец египетской росписи потолка, восходящей к середине второго тысячелетия до нашей эры.

Уже для групп симметрий конечных фигур мы были принуждены отдельно рассматривать случаи 1, 2, 3, 5, когда группа симметрий не содержит поворотов на сколь угодно малый угол, и случаи 4, 6, когда в группе есть такие повороты. При изучении групп симметрий бесконечных фигур, особенно в пространственном случае, это разделение на дискретные группы и группы со сколь угодно малыми преобразованиями приобретает еще большее значение. Поэтому мы сначала более точно проведем разграничение между этими случаями.

Группа движений плоскости называется дискретной, если каждую точку плоскости можно окружить таким кругом, что каждое движение из группы либо оставляет данную точку неподвижной, либо выводит ее сразу за пределы взятого круга.

Как и выше, можно найти все дискретные группы движений плоскости. Все эти группы являются группами симметрий плоских фигур. Здесь естественно различаются три типа дискретных групп симметрий:

I. На плоскости существует точка, остающаяся неподвижной при всех преобразованиях симметрии. Этот тип содержит перечисленные выше группы

II. На плоскости не существует неподвижной точки, но существует прямая, совмещающаяся с собой при всех преобразованиях группы. Эта прямая называется осью группы. Группы симметрий этого типа имеют орнаменты, вытянутые в виде бесконечной полосы (бордюры). Таких групп существует всего семь:

1. Группа симметрий состоящая только из переносов на расстояния, кратные некоторому отрезку а.

2. Группа получающаяся из присоединением вращения на 180 относительно одной из точек оси группы.

3. Группа получающаяся из присоединением отражения относительно прямой, перпендикулярной к оси группы.

4. Группа получающаяся из присоединением отражения относительно оси.

5. Группа получающаяся из присоединением переноса на отрезок у соединенного с отражением относительно оси.

6. Группа получающаяся из присоединением отражения относительно некоторой прямой, перпендикулярной оси группы.

Таблица 2

7. Группа получающаяся из присоединением отражения относительно некоторой прямой, перпендикулярной к оси группы.

Табл. 2 дает схемы «бордюров», соответствующих каждой из групп

Таблица 3

III. На плоскости не существует ни точки, ни прямой, совмещающихся с собой при всех преобразованиях группы. Группы этого типа называются плоскими федоровскими группами. Они являются группами симметрий бесконечных плоских орнаментов. Их существует всего 17:

пять состоит только из движений 1-го рода, двенадцать — из движений 1 и 2-го рода.

В табл. 3 даны схемы орнаментов, соответствующих каждой из 17 плоских федоровских групп; при этом каждая группа состоит из тех и только тех движений, которые любой флаг, начерченный на чертеже, переводят в любой другой флаг того же чертежа.

Интересно отметить, что мастера орнамента практически открыли орнаменты со всеми возможными группами симметрий; на долю теории групп выпало лишь доказать отсутствие других видов.

1
Оглавление
email@scask.ru